[Bestiaire ébloui des lexies tératoïdes]

Chapitre 61

Cryptarithmes et Alphametics

__________

Le cryptarithme fondateur du genre semble être celui qu’Henry. E. Dudeney publia en juillet 1924 dans le Strand Magazine :

SEND

+ MORE

-----

= MONEY

Ces mots codent de façon unique l’addition suivante :

9567

+ 1085

-----

= 10652

Le cryptarithme est donc une opération arithmétique habillée en mots, lesquels répondent à deux règles :

1) À chaque lettre correspond un seul chiffre et réciproquement (S code 9 et seulement 9 ; 9 est codé par S et seulement S)

2) La lettre qui commence un mot ne peut correspondre à 0 (zéro).

Il est d’usage aussi de préférer les solutions uniques à celles qui admettent plusieurs combinaisons lettres/chiffres (et l’astérisque * marquera dorénavant sur cette page une telle unicité).

Résoudre des cryptarithmes est parfois difficile. En composer est beaucoup plus amusant. Surtout quand les mots entretiennent des rapports plaisants.

Voici pour commencer quelques cryptarithmes doublement vrais : les mots et les nombres qu’ils codent s’additionnent de façon unique (on notera que « ZÉRO » a perdu son accent, comme toutes les autres additions de cette page ; on remerciera en outre Naoyuki Tamura pour les listes affichées sur son site) :

UN + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = NEUF*

25 + 1326 + 1326 + 1326 + 1326 = 5329

UN + UN + NEUF = ONZE*

81 + 81 + 1987 = 2149

ZERO + ZERO + ZERO + UN + DOUZE = TREIZE*

9506 + 9506 + 9506 + 82 + 76895 = 105495

ZERO + TROIS + TROIS + TROIS + SEPT = SEIZE*

4273 + 17356 + 17356 + 17356 + 6201 = 62542

CINQ + CINQ + VINGT = TRENTE*

6483 + 6483 + 94851 = 107817

ZERO + NEUF + NEUF + DOUZE = TRENTE*

9206 + 3257 + 3257 + 86592 = 102312

ZERO + ZERO + SEPT + SEPT + SEIZE = TRENTE*

6904 + 6904 + 7921 + 7921 + 79869 = 109519

ZERO + UN + TROIS + ONZE + QUINZE = TRENTE* (notre préféré)

7139 + 68 + 53902 + 9871 + 460871 = 531851

ZERO + TROIS + TROIS + TROIS + CINQ + SEIZE = TRENTE*

5904 + 10426 + 10426 + 10426 + 3278 + 69259 = 109719

ZERO + TROIS + TROIS + DOUZE + DOUZE = TRENTE*

3496 + 19625 + 19625 + 76034 + 76034 = 194814

ZERO + QUATRE + QUATRE + ONZE + ONZE = TRENTE*

4876 + 130278 + 130278 + 6548 + 6548 = 278528

UN + UN + DEUX + DEUX + QUATRE + DIX + DIX = TRENTE*

93 + 93 + 2491 + 2491 + 698704 + 251 + 251 = 704374

UN + UN + QUATRE + DOUZE + DOUZE = TRENTE*

59 + 59 + 652801 + 74531 + 74531 = 801981

UN + QUATRE + CINQ + CINQ + QUINZE = TRENTE*

50 + 356724 + 8103 + 8103 + 351094 = 724074

TROIS + TROIS + TROIS + CINQ + SEIZE = TRENTE*

14509 + 14509 + 14509 + 7063 + 98028 = 148618

QUATRE + QUATRE + QUATRE + NEUF + NEUF = TRENTE*

172536 + 172536 + 172536 + 9674 + 9674 = 536956

 
QUATRE + QUATRE + QUATRE + QUATRE + QUATRE + CINQ + CINQ = TRENTE*
125637 + 125637 + 125637 + 125637 + 125637 + 4891 + 4891 = 637967
 
 

Les cryptarithmes suivants comportent plus de dix termes avant le signe « = » (les nombres qui précèdent un mot indiquent la quantité de mots à additionner) :

un + 7(deux) + 5(trois) = trente*

58 + 9056 + 13472 = 130810

un + 10(deux) + 3(trois) = trente*

65 + 9760 + 13284 = 137517

2(un) + 2(deux) + 8(trois) = trente*

36 + 8234 + 10759 = 102612

2(un) + 5(deux) + 6(trois) = trente*

97 + 8593 + 10426 = 105715

2(un) + 4(deux) + 5(QUATRE) = trente*

54 + 2350 + 156793 = 793473

2(un) + 7(deux) + (QUATRE) + DIX = trente*

69 + 5864 + 167208 + 534 = 208928

2(un) + 8(TROIS) + QUATRE = trente*

74 + 86059 + 173862 = 862482

3(un) + 3(deux) + 7(trois) = trente*

45 + 9348 + 10762 = 103513

3(un) + 5(TROIS) + 3(QUATRE) = trente*

28 + 75906 + 124753 = 753873

4(un) + 4(deux) + 6(trois) = trente*

74 + 9275 + 10836 = 102412

4(un) + 4(deux) + 2(QUATRE) + DIX = trente*

82 + 9785 + 183407 + 965 = 407247

6(un) + QUATRE + 4(CINQ) = trente*

62 + 764803 + 9527 = 803283

15(deux) = trente*

8034 = 120510 (seul cryptarithme de cette page dont chaque mot est diviseur du nombre qu’il code. Ainsi 2 divise 8034 et 30 120510)

395(ZERO) + 26(UN) + QUATRE = TRENTE*

1594 + 60 + 263895 = 895085

2(DEUX) + 3(SIX) + 2(NEUF) + 6(DIX) = CENT*

1034 + 654 + 2037 + 154 = 9028

3(SIX) + 6(SEPT) + 4(DIX) = CENT*

175 + 1069 + 275 = 8039

Les égalités suivantes viennent du site de Truman Collins, auteur d’un extraordinaire générateur de cryptarithmes (lien en bas de page) :

2(UN) + 6(DEUX) + 6(SIX) + 5(DIX) = CENT*
9(UN) + 5(DEUX) + 7(DIX) + ONZE = CENT*

88(UN) + 6(DEUX) = CENT*

...etc. Il y a sûrement d’autres additions « doublement vraies » à solution unique – nous en laisserons la recension exhaustive aux lecteurs férus d’informatique et de force brute. Si quelqu’un bat le record de longueur anglo-saxon suivant (888 termes additionnés), qu’il nous fasse signe [Ndlr : c’est fait, voir les 994 « UN » tout en bas, presque] :

NINETEEN + NINETEEN + TEN + TEN + TEN + TEN + NINE + NINE + NINE + NINE + NINE + 877(ONE) = THOUSAND*.

De même l’exploration approfondie des égalités cryptarithmiques de ce type reste-t-elle à faire :

UN + TROIS = DEUX + DEUX

Cette dernière ne comportant pas de solution unique – mais bien quatorze (vérifiées grâce à l’applet de Robert B. Israel) :

30 + 15842 = 7936 + 7936

30 + 15248 = 7639 + 7639

32 + 15840 = 7936 + 7936

92 + 15304 = 7698 + 7698

92 + 13504 = 6798 + 6798

32 + 17046 = 8539 + 8539

63 + 18457 = 9260 + 9260

94 + 15302 = 7698 + 7698

94 + 13502 = 6798 + 6798

34 + 15826 = 7930 + 7930

36 + 17042 = 8539 + 8539

36 + 15824 = 7930 + 7930

67 + 18453 = 9260 + 9260

38 + 15240 = 7639 + 7639

Voici autre chose avec des « DEMIS » :

SIX + DEMIS + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = TREIZE*

637 + 98536 + 9827 + 9827 + 9827 + 9827 + 9827 = 148308

DIX + DEMIS + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = TREIZE*

965 + 97862 + 9705 + 9705 + 9705 + 9705 = 137647

SEPT + DEMIS + SEPT + DEMIS + SIX = TREIZE*

5872 + 98165 + 5872 + 98165 + 564 = 208638

DIX + DEMIS + DIX + DEMIS + TROIS = TREIZE*

973 + 96470 + 973 + 96470 + 21870 = 216756

DEUX + DEMIS + DEUX + DEUX + DIX = QUINZE*

9623 + 96054 + 9623 + 9623 + 953 = 125876

DEUX + DEMIS + DEUX + DEMIS + UN + SIX + SIX = QUINZE*

7054 + 70963 + 7054 + 70963 + 58 + 364 + 364 = 156820

DEUX + DEMIS + DEUX + DEMIS + UN + UN + UN + DIX = QUINZE*

5823 + 58694 + 5823 + 58694 + 27 + 27 + 27 + 593 = 129708

CINQ + DEMIS + CINQ + DEMIS + CINQ + CINQ = QUINZE*

5831 + 72489 + 5831 + 72489 + 5831 + 5831 = 168302

SIX + DEMIS + DEUX + DIX = QUINZE*

278 + 96572 + 9608 + 978 = 107436

SIX + DEMIS + SIX + DEMIS + UN + DEUX + SIX = QUINZE*

270 + 69872 + 270 + 69872 + 45 + 6940 + 270 = 147539

DIX + DEMIS + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = QUINZE*

798 + 72694 + 7208 + 7208 + 7208 + 7208 + 7208 = 109532

DIX + DEMIS + SIX + DEMIS + SIX + DEMIS + DEUX + DEUX = QUINZE*

681 + 64783 + 381 + 64783 + 381 + 64783 + 6401 + 6401 = 208594

DIX + DEMIS + DIX + DEMIS + SIX + DEMIS + UN + UN = QUINZE*

804 + 89305 + 804 + 89305 + 504 + 89305 + 71 + 71 = 270169

DIX + DEMIS + DIX + DEMIS + UN + DEUX + DEUX = QUINZE*

634 + 69238 + 634 + 69238 + 57 + 6954 + 6954 = 153709

DIX + DEMIS + DIX + DEMIS + DEUX + UN + UN + UN = QUINZE*

795 + 70298 + 795 + 70298 + 7045 + 43 + 43 + 43 = 149360

DEUX + DEMIS + DEUX + DEMIS + DEUX + SIX + SIX = SEIZE*

3690 + 36718 + 3690 + 36718 + 3690 + 810 + 810 = 86126

...etc. Sans oublier, bien sûr :

DEMIS + DEMIS = BIERE*

46328 + 46328 = 92656

Et voici ce que l’on peut faire avec des « TIERS » :

TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + TROIS + TIERS = QUATRE*

90318 + 91408 + 90318 + 91408 + 90318 + 91408 + 90318 + 91408 = 726904

TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + TROIS + SEPT = DOUZE*

10485 + 18605 + 10485 + 18605 + 10485 + 5631 = 74296

TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + UN + TROIS + TROIS + TROIS = DOUZE*

10923 + 12503 + 10923 + 12503 + 64 + 10923 + 10923 + 10923 = 79685

TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + TROIS + TIERS + CINQ + CINQ = TREIZE*

10497 + 19207 + 10497 + 19207 + 10497 + 19207 + 6935 + 6935 = 102982

SEPT + TIERS + SEPT + TIERS + SEPT + TIERS + TROIS + TROIS = TREIZE*

8351 + 19308 + 8351 + 19308 + 8351 + 19308 + 10498 + 10498 = 103973

NEUF + TIERS + NEUF + TIERS + NEUF = QUINZE*

3258 + 70294 + 3258 + 70294 + 3258 = 150362

SIX + TIERS + SIX + TIERS + SIX + TIERS + UN + UN + UN + SIX = QUINZE*

290 + 59432 + 290 + 59432 + 290 + 59432 + 76 + 76 + 76 + 290 = 179684

SIX + TIERS + SIX + TIERS + TROIS + TROIS + SIX = SEIZE*

503 + 10975 + 503 + 10975 + 17805 + 17805 + 503 = 59069

TROIS + TIERS + TROIS + TROIS + TROIS + TROIS + TROIS = SEIZE*

12589 + 18329 + 12589 + 12589 + 12589 + 12589 + 12589 = 93863

SIX + TIERS + UN + UN + UN + UN + DIX = SEIZE*

691 + 59046 + 73 + 73 + 73 + 73 + 891 = 60920

...etc. Nous avons exploré ensuite les cryptarithmes ordinaires qui répètent un ou plusieurs termes. Ainsi cette famille nombreuse :

MARI + FEMME +

ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT

= FAMILLE*

...comporte-t-elle douze enfants – contre les dix-huit de celle-ci :

MARI + FEMME +

ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT

= FAMILLE*

Les solutions respectives sont :

Famille « 12 » :

MARI + FEMME + 12(ENFANT) = FAMILLE*

4132 + 65445 + 506109 = 6142885

Famille « 18 » :

MARI + FEMME + 18 (ENFANT) = FAMILLE*

1824 + 95115 + 539837 = 9814005

[Il n’y a pas d’autres familles nombreuses de ce type.]

Nous avons trouvé aussi :

ARGENT + ARGENT = BONHEUR*

543982 + 543982 = 1087964

ARGENT + ARGENT = MALHEUR*

967028 + 967028 = 1934056

De plus importantes quantité d’argent sont possibles (et souhaitables ?) :

ARGENT + ARGENT + ... + ARGENT = BONHEUR*

[avec 95 « ARGENT » en tout, ce qui constitue le maximum possible – d’autres solutions uniques apparaissant pour des quantités moindres : 16, 17, 25, 34, 60, 69 et 72 « ARGENT »]

ARGENT + ARGENT + ... + ARGENT = MALHEUR*

[avec 72 « ARGENT » au maximum : l’argent fait donc bien plus le bonheur que le malheur]

Ceci encore :

LIGNE + LIGNE + LIGNE + LIGNE = TEXTE*

15240 + 15240 + 15240 + 15240 = 60960

...qui se vérifie aussi pour sept lignes – mais pas plus.

Pour que des mots écrivent un texte il en faut 27 au minimum :

27(MOT) = TEXTE*

912 = 24624

Les autres solutions uniques comportent 32, 35, 42, 52, 54 et 58 mots.

Nous avons également remarqué qu’il ne faut pas sept lettres pour réaliser un Scrabble mais exactement trente-six, ni plus ni moins :

36(LETTRE) = SCRABBLE*

567746 = 20438856

Nicolas Graner (sans qui cette page n’aurait pas vu le jour – lui en voudrez-vous ?) a remarqué que :

VERRE + VERRE = DEGATS*

74664 + 74664 = 149328

C’est aussi vrai pour 5, 19, 28, 33, 35, 38, 45, 50, 58, 59 et 72 verres – ce dernier valant alors 12882 et les dégâts 927504.

Combien faut-il compter de moutons pour trouver le sommeil ? Au moins six :

MOUTON + MOUTON + MOUTON + MOUTON + MOUTON + MOUTON = SOMMEIL*

490693 + 490693 + 490693 + 490693 + 490693 + 490693 = 2944158

...mais ça marche aussi avec des troupeaux de 8, 18, 35, 46 et 57 bêtes.

Et combien de grains faut-il moudre ? Au minimum six :

GRAIN + GRAIN + GRAIN + GRAIN + GRAIN + GRAIN = MOUDRE*

71635 + 71635 + 71635 + 71635 + 71635 + 71635 = 429810

...on broiera de même 9, 19, 22, 24, 30, 32, 40, 45, 53, 54, 55, 59, 62, 76, 82 et 87 grains – pas plus...

Le train, combien de wagons ? Exactement sept :

WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON + WAGON = TRAIN*
13620 + 13620 + 13620 + 13620 + 13620 + 13620 + 13620 = 95340

Et avec une locomotive ? Deux convois possibles :

7(WAGON) + LOCO = TRAIN* 8(WAGON) + LOCO = TRAIN*

13546 + 2484 = 97306 10724 + 3262 = 89054

Il y a moyen de fabriquer aussi un train comportant 1 wagon et 66 locomotives, mais est-ce indispensable ?

WAGON + 66(LOCO) = TRAIN*
26705 + 1030 = 94685