Colour, drag and drop sequence

Modus operandi:

Write the seq. N of the natural numbers:

N =  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

Rule one: at step ‘n’ colour in yellow ‘n’ and in grey the nth integer at the right of ‘n’.

Rule two: drag and drop the grey integer next to the yellow integer (right-side) and keep the rest of the sequence as it is.

Rule three: make ‘n’=‘n’+1 then go back to Rule one and apply again to the re-ordered set of Naturals.

[The first column on the left (in blue) shows the step of the computation]

1   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

2   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

3   1  2  4  3  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

4   1  2  4  3  7  5  6  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

5   1  2  4  6  3  7  5  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

6   1  2  4  6  3  7  5 12  8  9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

7   1  2  4  6  9  3  7  5 12  8 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

8   1  2  4  6  9  3  7 14  5 12  8 10 11 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

9   1  2  4  6  9  3  7 14  5 12  8 19 10 11 13 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

10   1  2  4  6  9 11  3  7 14  5 12  8 19 10 13 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

11   1  2  4  6  9 11  3  7 14  5 12  8 19 10 24 13 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

12   1  2  4  6  9 11 15  3  7 14  5 12  8 19 10 24 13 16 17 18 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

13   1  2  4  6  9 11 15  3  7 14  5 12 23  8 19 10 24 13 16 17 18 20 21 22 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

14   1  2  4  6  9 11 15  3  7 14  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 17 18 20 21 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

15   1  2  4  6  9 11 15  3  7 14 21  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 17 18 20 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

16   1  2  4  6  9 11 15 17  3  7 14 21  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 18 20 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

17   1  2  4  6  9 11 15 17  3  7 14 21  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 38 18 20 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 ...

18   1  2  4  6  9 11 15 17 20  3  7 14 21  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 38 18 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 ...

19   1  2  4  6  9 11 15 17 20  3  7 14 21  5 12 23  8 19 10 24 13 31 16 38 18 43 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 44 45 ...

20   1  2  4  6  9 11 15 17 20  3  7 14 21  5 12 23  8 19 35 10 24 13 31 16 38 18 43 22 25 26 27 28 29 30 32 33 34 36 37 39 40 41 42 44 45 ...

21   1  2  4  6  9 11 15 17 20 25  3  7 14 21  5 12 23  8 19 35 10 24 13 31 16 38 18 43 22 26 27 28 29 30 32 33 34 36 37 39 40 41 42 44 45 ...

22   1  2  4  6  9 11 15 17 20 25  3  7 14 21 32  5 12 23  8 19 35 10 24 13 31 16 38 18 43 22 26 27 28 29 30 33 34 36 37 39 40 41 42 44 45 ...

... etc.

Emerging sequence : 1, 2, 4, 6, 9, 11, 15, 17, 20, 25 ... (which is monotonically increasing -- poor 3 and 5 and 7 and 8, etc.!)

Could someone please compute a few more terms of this (very slow emerging) sequence?

Best,

É.

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Update, July 10th, 2009 --> 15:45, Brussels time:

I’ve received this very neat answer from Pr. Dr. Alois Heinz a couple of minutes ago:

> The first 155 items:

1, 2, 4, 6, 9, 11, 15, 17, 20, 25, 27, 29, 33, 36, 40, 42, 46, 49, 51, 54, 60, 63, 65, 68, 70, 75, 77, 82, 85, 89, 92, 94, 97, 101, 103, 106, 110, 113, 115, 118, 125, 127, 132, 134, 136, 140, 143, 146, 148, 153, 157, 159, 162, 165, 169, 173, 178, 180, 182, 186, 189, 191, 194, 197, 202, 204, 206, 208, 214, 220, 224, 226, 229, 234, 236, 240, 243, 245, 247, 249, 252, 259, 262, 264, 268, 271, 274, 277, 281, 283, 287, 289, 291, 295, 299, 303, 306, 311, 315, 317, 321, 323, 325, 330, 332, 335, 339, 343, 345, 347, 350, 353, 360, 363, 367, 370, 373, 376, 379, 382, 387, 390, 392, 395, 399, 402, 405, 407, 410, 412, 417, 421, 429, 431, 434, 436, 438, 441, 444, 447, 449, 451, 454, 457, 461, 463, 469, 474, 479, 482, 485, 489, 492, 494, 498, ...

... thank you, Alois !

Grüsse,

É.

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Update, February 21st, 2011

I’ve received this interesting comment and illustration from Jean-Marc Falcoz (in French):

J’ai calculé un peu plus de 18000 termes (plusieurs heures de machine) ; on constate que a(n) semble s’approcher asymptotiquement de 3,284...* n. Le graphe de la suite n’est pas très intéressant, car il est très proche de celui de la droite f(x) = x*3,284...

Par contre le graphe de a(n)/n est sympa, car on voit la convergence asymptotique.

En illustration : les termes et le graphe de a(n)/n (l’axe des x ne part pas de l’origine, et il y a un rapport d’environ 6000000 entre les échelles des axes, sinon on ne verrait rien du tout !)

a(n)/n graph

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Merci beaucoup, Jean-Marc — magnifique travail, comme d’habitude!

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