Hilbert Hotel: 3n labeled rooms moving to 3(n-1)

(a sequence and its absolute first differences)

Hello SeqFans,

S = 1,3,2,5,9,4,13,19,6,25,32,7,39,47,8,55,65,10,75,86,11,97,109,12,121,135,14,149,164,15,...

Ask to every term in room 3n to move to room 3(n-1).

The resulting sequence D shows the absolute first differences of S.

(moving rooms have a dot on top and new rooms have a star):

.     .       .       .        .       .        .         .          .          .

S =    1,3,2,5,9,4,13,19,6,25,32,7,39,47, 8,55,65,10,75,86,11,97,109,12,121,135,14,149,164,15,...

D =  2,1,3,4,5,9,6,13,19,7,25,32,8,39,47,10,55,65,11,75,86,12,97,109,14,121,135,15,149,...

*     *     *       *       *       *        *        *         *          *

First differences appear here:

S = 1,3,2,5,9,4,13,19, 6, 25,32, 7, 39,47, 8, 55, 65, 10, 75, 86, 11, 97, 109, 12,  121,135,  14,  149, 164,  15,...

D =  2,1,3,4,5,9, 6, 13,19, 7, 25,32, 8, 39,47, 10, 55, 65, 11, 75, 86, 12,  97, 109,  14, 121, 135,  15,  149,...

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We wanted S to:

- be a permutation of N

- be the lexicographically first sequence to show those properties

S is a simple concatenation of triplets (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i),...

The triplets are linked like this;

-example with (a,b,c) and (d,e,f):

d = b+c

f = the smallest integer not yet present in S

e = d+f

1,3,2,

5,9,4,

13,19,6,

25,32,7,

39,47,8,

55,65,10,

75,86,11,

97,109,12,

121,135,14,

149,164,15,

...

Best,

É.

----------

P.-S.

This is now http://oeis.org/A173701

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A variant: ask only to the prime numbers to change room. This means that only they must slide 3 steps to the left.

The sequence P is no more a permutation of N. But P shows all the primes (marked here with dots and stars):

.          .          .           .          .            .             .             .             .            .

P = 1, 8, 7, 15, 18, 3, 21, 38, 17, 55, 60, 5, 65, 76, 11, 87, 106, 19, 125, 148, 23, 171, 208, 37, 245, 247, 2,  249, 262, 13,...

d =   7  1  8   3  15 18  17  21  38   5  55 60  11  65  76  19   87  106  23   125 148  37   171 208   2   245 247  13 ...

*        *        *           *        *         *            *           *             *          *

The building method is the same as above (triplets):

1,8,7,

15,18,3,

21,38,17,

55,60,5,

65,76,11,

87,106,19,

125,148,23,

171,208,37,

245,247,2,

249,262,13,

...

The last term of a triplet is the “smallest prime not yet in P”. In building P you only have to be sure that ‘b’, ‘d’ and ‘e’ are not primes.

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Gilles Esposito-Farèse has asked me about a 2n slide (instead of 3n). Here is my answer in French (many thanks to Stefan, Reinhard, Torleiv and Maximilian from the Seqfans mailing list):

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Glissement de 1n [chaque terme occupe la 1re chambre à sa gauche ; la suite qui en résulte (d) est celle des premières différences de S]:

Il suffit de construire une suite ainsi :

S = 1 2 4 8 16  32  64  128 ...

d =  1 2 4 8  16  32  64...

Ou ainsi :

S = 3 6 12  24  48  96  192 ...

d =  3 6  12  24  48  96 ...

bref, de forme générale a, 2a, 4a, 8a, 16a, 32a, ... donc de forme (2^n)a.

Notons cependant qu’il est impossible pour S d’être une permutation de N (naturels)

*****

Glissement de 2n [chaque terme occupe la 2e chambre à sa gauche ; la suite qui en résulte (d) est celle des premières différences de S]:

Toutes ces suites sont finies (et ne sont donc pas des permutations de N) ; elles sont de ce type :

S = 32  16  48  24  72  36  108  54   162  81   243  END

d =   16  32  24  48  36  72   54  108   81  162

Les plus longues (pour un départ le plus petit possible) commencent par une puissance de 2 et s’achèvent sur la même puissance de 3 (ci-dessus départ = 2^5 et fin = 3^5 = 243)

*****

Glissement de 3n [chaque terme occupe la 3e chambre à sa gauche ; la suite qui en résulte (d) est celle des premières différences de S].

C’est la suite que tu connais, permutation de N : http://www.cetteadressecomportecinquantesignes.com/Hilbert3n.htm

Une variante : les nombres qui déménagent dans la 3e chambre à leur gauche sont uniquement les nombres premiers de S.

Cette suite est facile à construire mais elle n’est alors plus une permutation de N (malgré mes efforts insensés !) :

.          .          .           .          .            .

S = 1, 8, 7, 15, 18, 3, 21, 38, 17, 55, 60, 5, 65, 76, 11, 87, 106, 19, ...

d =   7  1  8   3  15 18  17  21  38   5  55 60  11  65  76  19   87 ...

*         *         *            *         *           *

En revanche tous les nombres premiers figurent dans S.

*****

Glissement de 4n

... euh, j’y réfléchirai cette nuit !

;-))

à+

É.

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Note that because of its mere definition, the Fibonacci sequence coincides with its first differences, beyond the first 0:

F = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

d =   0  1  1  2  3  5   8  13  21  34  55   89   144  233 ...

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