Objet : Autodescription de Huns

 

 

 

Hello Jacques,

 

Voici un algo pour construire une suite décrivant la position des chiffres « 1 » qu’elle contient. Pour que ladite suite soit sexy, j’ai essayé de la fabriquer telle qu’elle comporte le plus de « 1 » possible (elle est mieux, en ce sens, que les autres suites fourguées par moi à l’OEIS, je crois).

 

Prendre un nombre de la suite ci-dessous et l’appeler k. Ce nombre k dit : « Le kème chiffre de la suite est un "1" » (Il faut voir la suite comme une seule chaîne de caractères concaténés).

 

S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,8,12,13,14,16,18,20,22,11111,28,29,30,31,32,40,111111,45,46,47,48,49,50,1111111,63,64,65,66,67,68,69,...

 

Le 1er terme de la suite est « 1 » et dit :   « Le 1er chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 2e terme de la suite est « 11 » et dit :   « Le 11e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 3e terme de la suite est « 2 » et dit :    « Le 2e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 4e terme de la suite est « 3 » et dit :    « Le 3e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 5e terme de la suite est « 111 » et dit :  « Le 111e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui se vérifiera ;

Le 6e terme de la suite est « 6 » et dit :    « Le 6e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 7e terme de la suite est « 7 » et dit :    « Le 7e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

Le 8e terme de la suite est « 1111 » et dit : « Le 1111e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui se vérifiera ;

Le 9e terme de la suite est « 8 » et dit :    « Le 8e chiffre de la suite est un « 1 » -- ce qui est vrai ;

... etc.

 

Voici l’algo de construction :

 

(1) Tout terme de la suite ne figure qu’à un seul exemplaire ;

(2) Commencer par décrire (sous forme de nombre) la position qu’occupent les chiffres « 1 » qui n’ont pas encore été décrits ;

(3) Si l’espace manque pour écrire ce nombre, remplir ledit espace à l’aide de chiffres « 1 » jusqu’à ce qu’apparaisse le plus petit rep-unit disponible (un rep-unit est un nombre comme 1,11,111 ou 1111111... qui ne s’écrit qu’avec des « 1 ») ;

(4) Si tout a été décrit, poursuivre la construction de la suite en écrivant le plus petit rep-unit disponible ;

(5) Aller en (2)

 

Construction de la suite : 

 

Il n’y a rien à décrire, on écrit donc « 1 » qui est le plus petit rep-unit dispo :

 

S = 1,

 

Toujours rien à décrire (puisque le « 1 » se décrit lui-même), on écrit donc « 11 » qui est le rep-unit suivant (après « 1 ») :

 

S = 1,11,

 

Ce « 11 » décrit un « 1 » qui figurera en 11e position dans la suite ; réservons-lui cette 11e position (et marquons les espaces vides) :

 

S = 1,11, . . . . . . . 1,

 

Les deux « 1 » du « 11 » doivent encore être décrits ; ils sont en position 2 et 3 :

 

S = 1,11,2,3, . . . . . 1,

 

Tous les « 1 » de la suite sont décrits à présent, on écrit donc « 111 » -- qui est le plus petit rep-unit disponible --, derrière « 3 » :

 

S = 1,11,2,3,111, . . 1,

 

On doit décrire ces nouveaux « 1 »; ils sont en position 6, 7 et 8 -- mais la place manque pour écrire « 8 » [cf. le point (3) de l’algo] ; on commence par écrire 6 et 7 dans les espaces libres :

 

S = 1,11,2,3,111,6,7,1,

 

... on « accroche » trois chiffres « 1 » au « 1 » derrière le « 7 » pour faire apparaître le rep-unit 1111 (qui est le plus petit rep-unit dispo) :

 

S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,

 

On écrit le 8 qui était en suspens :

 

S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,8,

 

On décrit les « 1 » qui n’ont pas encore été décrits (attention, le 1er « 1 » du rep-unit 1111 a déjà été décrit -- par « 11 », comme on l’a vu) :

 

S = 1,11,2,3,111,6,7,1111,8,12,13,14,

 

- etc.

 

Si tu en as le temps (et l’envie) pourrais-tu calculer un millier de termes ? Et estimer vers quoi tend (en fonction de T, nombre total de chiffres de la suite, le rapport T/(qté de « 1 ») ? Appelons ce rapport « Constante de Brougnard », si l’expression est libre...

 

Quid des huit autres suites qui commencent par 2, 3, 4, 5, ... 9 ?

 

Voici les débuts de S(2) et S(3) :

 

S(2) = 2,22,1,3,222,6,7,8,2222,12,13,14,22222,15,17,23,24,25,26,31,33,35,37,222222,

 

S(3) = 3,1,33,4,333,6,7,8,3333,12,13,14,15,19,33333,26,27,28,29,30,39,41,333333,

 

Toutes ces suites S(k) convergent-elles vers la même constante de Brougnard ?

 

à+

E.