New Printer’s Errors

Début février 2009, Jean-Marc Falcoz a pris un nombre entier, a inséré entre chacun de ses chiffres une des cinq opérations suivantes, et s’est demandé ce que cela pouvait produire :

+ (plus)

- (moins)

* (fois)

/ (divisé par)

^ (porté à la puissance)

Jean-Marc a vite cherché les nombres qui soient solution d’un calcul sur leurs propres chiffres (les chiffres devant rester dans l’ordre et le calcul être univoque selon les règles habituelles).

736 = 7+3^6 est un bon exemple :

on effectue d’abord l’exponentiation 3^6 (laquelle vaut 3*3*3*3*3*3=729)

puis l’addition 7+729 = 736.

Le calcul d’une expression s’attaque d’abord aux exponentiations, puis aux multiplications et divisions, enfin aux additions et soustractions. Rappelons que k^0 vaut 1, quel que soit k (0^0, n’étant pas défini, n’est pas utilisé). Quant aux inserts successifs de signes ^, Jean-Marc les a interdits à son programme : les expressions comportant a^b^c « explosent » vite, et certains auteurs les jugent ambigües (mais pas Eric Weisstein, voir ici).

Voici tous les nombres compris entre 0 et 10^6 que Jean-Marc a trouvés :

2592 = 2^5*9^2

11664 = 1*1*6^6/4

15617 = 1*5^6-1-7

15618 = 1*5^6+1-8

15622 = 1+5^6-2*2

15624 = 1+5^6+2-4

15632 = 1+5^6+3*2

15642 = 1+5^6+4^2

15645 = 1*5^6+4*5

15656 = 1+5*6+5^6

15662 = 1+5^6+6^2

15667 = 1*5^6+6*7

15698 = 1+5^6+9*8

17536 = 1*7^5+3^6

27639 = 2^7*6^3-9

32785 = 3+2*7+8^5

39363 = 3^9/3*6-3

39369 = 3+9^3*6*9

45947 = 4*5+9^4*7

46633 = 4+6^6-3^3

46644 = 4+6^6-4*4

46648 = 4*6^6/4-8

46655 = 4+6*6^5-5

46660 = 4+6^6*6^0

46663 = 4+6+6^6-3

117635 = 1*1+7^6-3*5

117638 = 1*1*7^6-3-8

117639 = 1+1+7^6-3-9

117642 = 1*1+7^6-4*2

117643 = 1*1+7^6-4-3

117647 = 1*1+7^6+4-7

117650 = 1*1*7^6+5^0

117652 = 1*1*7^6+5-2

117653 = 1+1+7^6+5-3

117662 = 1*1+7^6+6*2

117695 = 1*1+7^6+9*5

156250 = 1*5^6*2*5+0

156251 = 1*5^6*2*5+1

156252 = 1*5^6*2*5+2

156253 = 1*5^6*2*5+3

156254 = 1*5^6*2*5+4

156255 = 1*5^6*2*5+5

156256 = 1*5^6*2*5+6

156257 = 1*5^6*2*5+7

156258 = 1*5^6*2*5+8

156259 = 1*5^6*2*5+9

186622 = 1*8*6^6/2-2

186624 = 1*8*6^6*2/4

262149 = 2*6/2-1+4^9

279867 = 2-7*9-8+6^7

295245 = 2*9^5*2/4*5

390658 = 3*9+0+6+5^8

437564 = 4^3+7*5^6*4

589864 = 5*8+9*8^6/4

824577 = 8+2+4^5+7^7

...

__________

Jean-Marc ajoute dans un courrier de la fin février 2009 :

> J'ai eu une autre idée, un peu plus générale : je rajoute une 6^e opération qui est la concaténation de deux (ou plus) chiffres. Le calcul est bien sûr beaucoup plus lent, et voici ce que j'obtiens jusqu'à 238000 :

(Les nouveautés sont en jaune - NdÉA)

736 = 7+3^6

2502 = 2+50^2

2592 = 2^5*9^2

11664 = 1*1*6^6/4

15613 = 1+5^6-13

15617 = 1*5^6-1-7

15618 = 1*5^6+1-8

15622 = 1+5^6-2*2

15624 = 1+5^6+2-4

15632 = 1+5^6+3*2

15642 = 1+5^6+4^2

15645 = 1*5^6+4*5

15656 = 1+5*6+5^6

15662 = 1+5^6+6^2

15667 = 1*5^6+6*7

15698 = 1+5^6+9*8

16875 = 1*68+7^5

17536 = 1*7^5+3^6

19453 = 19*4^5-3

26364 = 26^3*6/4

27639 = 2^7*6^3-9

32785 = 3+2*7+8^5

34425 = 3^4*425

35721 = 3^5*7*21

39283 = 3^9*2-83

39343 = 39+34^3

39363 = 3^9/3*6-3

39369 = 3+9^3*6*9

45947 = 4*5+9^4*7

46630 = 4+6^6-30

46633 = 4+6^6-3^3

46644 = 4+6^6-4*4

46648 = 4*6^6/4-8

46655 = 4+6*6^5-5

46660 = 4+6^6*6^0

46663 = 4+6+6^6-3

117476 = 1-174+7^6

117576 = 1+1-75+7^6

117625 = 1*1+7^6-25

117630 = 11+7^6-30

117633 = 11+7^6-3^3

117635 = 1*1+7^6-3*5

117638 = 1*1*7^6-3-8

117639 = 1+1+7^6-3-9

117642 = 1*1+7^6-4*2

117643 = 1*1+7^6-4-3

117644 = 11+7^6-4*4

117647 = 1*1+7^6+4-7

117648 = 11+7^6-4-8

117650 = 1*1*7^6+5^0

117652 = 1*1*7^6+5-2

117653 = 1+1+7^6+5-3

117660 = 11+7^6*6^0

117662 = 1*1+7^6+6*2

117663 = 11+7^6+6-3

117695 = 1*1+7^6+9*5

117763 = 117+7^6-3

156250 = 1*5^6*2*5+0

156251 = 1*5^6*2*5+1

156252 = 1*5^6*2*5+2

156253 = 1*5^6*2*5+3

156254 = 1*5^6*2*5+4

156255 = 1*5^6*2*5+5

156256 = 1*5^6*2*5+6

156257 = 1*5^6*2*5+7

156258 = 1*5^6*2*5+8

156259 = 1*5^6*2*5+9

186622 = 1*8*6^6/2-2

186624 = 1*8*6^6*2/4

186641 = 18+6^6*4-1

234224 = 2-34+22^4

...

Les résultats du genre 117128 = 11^7-1-2*8 ont été exclus (ici tout l’exposant de 11 est comme mis entre parenthèses) ; de même pour les solutions comportant des nombres qui commencent par 0 (comme 59052 = 5+9^05-2)

__________

Qui trouvera un pandigital répondant à la contrainte ? (Un pandigital est un nombre ayant 10 chiffres, lesquels sont tous différents). Ce pandigital sera-t-il aussi pansigne (les 6 opérations +, -, *, /, ^ et concaténation) ?

Réponse du 2 mars 2009 :

Jean-Marc Falcoz a trouvé aujourd’hui le magnifique 3514829760 = 3^5*1482*9760 ; quelle merveille !

__________

J’ai par ailleurs posté ce message à la liste Math-Fun le 25 février 2009 :

Hello MathFun,

736 = 7+3^6

2502 = 2+50^2

34425 = 3^4*425

39343 = 39+34^3

Are there many more integers N which give back N if

we insert only two "operations" somewhere between

the digits of N? The "operations" are +, -, *, /, ^

and the expression at the right of the equal sign

must be unambiguous, of course.

Best,

É.

Erich Friedman m’a répondu (voir sa page ci-dessous) :

There are no more 5-digit solutions. The only 6-digit solutions are:

312325 = 31^2*325

344250 = 3^4*4250 (obviously infinitely many like this)

492205 = 49^2*205

Bravo et merci, Erich : il y a donc une infinité de nombres répondant à la question !

__________

Pourquoi « New Printer’s Errors » ? Parce qu’un concept approchant, baptisé « Printer’s Errors » avait déjà été proposé dans le passé.

Jean-Marc a travaillé aussi sur cette idée et l’a généralisée d’élégante façon ici !

Bravo – et longue vie aux vieilles imprimantes !

__________

P.-S.

Cette page d’Erich Friedman évoque tous ces sujets (le pandigital n’y est pas défini de la même façon) :

http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

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