A Recurring Digital Invariant variant

[le titre est (c) Mensanator sur rec.puzzles]

L’idée est la suivante :

a) choisir un nombre N

b) appeler « k » la quantité de chiffres qui composent N

c) élever tous les chiffres de N à la puissance k et additionner les résultats

d) appeler ce nouveau nombre N et retourner à l’instruction (b)

Exemple :

a) 14 = N

b) k = 2

c) 1^2 + 4^2 = 17

d) 17 = N

e) k = 2

f) 1^2 + 7^2 = 50

g) 50 = N

... etc.

On se propose d’étudier les boucles, les points fixes éventuels, etc.

Tout avait commencé (à la mi-février 2009) par une lecture (le lien bleu ci-dessous) et un double message aux listes SeqFans et rec.puzzles.

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Hello SeqFans,

http://mathworld.wolfram.com/RecurringDigitalInvariant.html

... what if k = "length of the considered integer"?

(k = 2 for the integer 14, for instance)

Starting with said 14:

14 -> 1^2 + 4^2 = 17

17 -> 1^2 + 7^2 = 50

50 -> 5^2 + 0^2 = 25

25 -> 2^2 + 5^2 = 29

29 -> 2^2 + 9^2 = 85

85 -> 8^2 + 5^2 = 89

89 -> 8^2 + 9^2 = 145

145 -> 1^3 + 4^3 + 5^3 = 190

190 -> 1^3 + 9^3 + 0^3 = 730

730 -> 7^3 + 3^3 + 0^3 = 370

370 -> 3^3 + 7^3 + 0^3 = 370 (fixed point)

First fixed points:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... , 370, ...

Any more?

Best,

É.

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[Réponse de Mensanator sur rec.puzzles] :

Oh, a Recurring Digital Invariant variant, eh?

> Any more?

Lots.

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 370, 217, 153, 352, 371, 136, 586, 886898, 1009, 160, 244, 76438, 853, 259, 736, 862, 664, 2929, 407, 496, 845130, 3283, 8208, 6514, 6562, 50062, 23131558, 1634, 2178, 124618, 13154, 4274, 59536, 3233, 7154, 4394, 9474]

[Python]:

import gmpy

inv_hist =[]

for n in xrange(10000):

hist = []

while n not in hist:

hist.append(n)

s = gmpy.digits(n)

p = len(s)

n = 0

for d in s:

n += int(d)**p

if n not in inv_hist:

inv_hist.append(n)

print inv_hist

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[Réponse de Hans Havermann sur SeqFans] :

Envoyé : mercredi 18 février 2009 2:00

À : Sequence Fanatics Discussion list

Objet : [seqfan] Re: Recurring Digital Invariant

Eric Angelini:

> ... what if k = "length of the considered integer"?

If I am doing this correctly, here are the first 34 cycles (by size of smallest precursor).

The format for each is:

index {smallest precursor, cycle length, {the cycle itself with the smallest element of the cycle first}}:

1 { 1, 1, {1}}

2 { 2, 1, {2}}

3 { 3, 1, {3}}

4 { 4, 1, {4}}

5 { 5, 1, {5}}

6 { 6, 1, {6}}

7 { 7, 1, {7}}

8 { 8, 1, {8}}

9 { 9, 1, {9}}

10 { 14, 1, {370}}

11 { 59, 3, {160, 217, 352}}

12 { 108, 1, {153}}

13 { 119, 1, {371}}

14 { 136, 2, {136, 244}}

15 { 138, 10, {259, 862, 736, 586, 853, 664, 496, 1009, 6562, 3233}}

16 { 147, 14, {18829, 124618, 312962, 578955, 958109, 1340652, 376761, 329340, 537059, 681069, 886898, 1626673, 1665667, 2021413}}

17 { 177, 2, {58618, 76438}}

18 { 389, 6, {2929, 13154, 4394, 7154, 3283, 4274}}

19 { 407, 1, {407}}

20 { 559, 3, {282595, 824963, 845130}}

21 { 709, 1, {8208}}

22 { 999, 2, {2178, 6514}}

23 { 1118, 4, {10933, 59536, 73318, 50062}}

24 { 1157, 12, {5908997, 17347727, 23131558, 17571846, 30442597, 49340036, 44870531, 23070276, 13216291, 44733413, 5981093, 11743403}}

25 { 1346, 1, {1634}}

26 { 4479, 1, {9474}}

27 { 11227, 1, {54748}}

28 { 12399, 1, {32164049651}}

29 { 22779, 1, {92727}}

30 { 30489, 1, {93084}}

31 {100666, 12, {1680387, 5299971, 15250704, 6611844, 2689794, 12783081, 39326052, 45130596, 45579685, 68505765, 27073124, 11602212}}

32 {127779, 1, {548834}}

33 {577999, 1, {4210818}}

34 {677779, 3, {2767918, 8807272, 5841646}}

35 {1000259, 1, {9926315}}

36 {1001458, 6, {2191663, 5345158, 2350099, 9646378, 8282107, 5018104}}

37 {1007889, 1, {9800817}}

38 {1035889, 2, {8139850, 9057586}}

39 {1124577, 1, {1741725}}

40 {1188888, 1, {24678051}}

41 {2055779, 2, {2755907, 6586433}}

42 {2566699, 1, {472335975}}

43 {4888888, 10, {180450907, 564207094, 440329717, 468672187, 369560719, 837322786, 359260756, 451855933, 527799103, 857521513}}

44 {10135679, 1, {24678050}}

45 {10146899, 1, {146511208}}

46 {10233389, 1, {88593477}}

47 {10266888, 7, {1139785743, 5136409024, 3559173428, 4863700423, 1418899523, 9131926726, 7377037502}}

48 {14489999, 3, {180975193, 951385123, 525584347}}

49 {14788889, 1, {912985153}}

50 {20248999, 1, {534494836}}

51 {155999999, 2, {277668893, 756738746}}

Any number < 10^9 will fall into one of these 51 cycles.

Magnifiques travaux, Mensanator et Hans !

On peut tirer plusieurs suites à partir de cette idée (les trois dernières ont été calculées par Hans) :

Suite S(1) des nombres qui cyclent sur eux-mêmes (nombres « narcissiques ») ; on regarde les « 1 » de la 3^e colonne ci-dessus :

S(1) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,153,370,371,407,1634,8208,9474,54748,92727,93084,548834, ... [A005188]. Cette suite ne comporte que 88 termes.

Suite S(2) des plus petits nombres qui entrent dans un cycle encore inconnu (c’est la 2^e colonne ci-dessus) :

S(2) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 59, 108, 119, 136, 138, 147, 177, 389, 407, 559, 709, 999, 1118, 1157, 1346, 4479, 11227, 12399, 22779, 30489, 100666, 127779, 577999, 677779, 1000259, 1001458, 1007889, 1035889, 1124577, 1188888, 2055779, 2566699, 4888888, 10135679, 10146899, 10233389, 10266888, 14489999, 14788889, 20248999, 155999999, ...

Suite S(3) des nombres qui font partie d’un cycle (on classe par ordre croissant les résultats de la 4^e colonne) :

S(3) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 136, 153, 160, 217, 244, 259, 352, 370, 371, 407, 496, 586, 664, 736, 853, 862, 1009, 1634, 2178, 2929, 3233, 3283, 4274, 4394, 6514, 6562, 7154, 8208, 9474, 10933, 13154, 18829, 50062, 54748, 58618, 59536, 73318, 76438, 92727, 93084, 124618, 282595, 312962, 329340, 376761, 537059, 548834, 578955, 681069, 824963, 845130, 886898, 958109, 1340652, 1626673, 1665667, 1680387, 1741725, 2021413, 2191663, 2350099, 2689794, 2755907, 2767918, 4210818, 5018104, 5299971, 5345158, 5841646, 5908997, 5981093, 6586433, 6611844, 8139850, 8282107, 8807272, 9057586, 9646378, 9800817, 9926315, 11602212, 11743403, 12783081, 13216291, 15250704, 17347727, 17571846, 23070276, 23131558, 24678050, 24678051, 27073124, 30442597, 39326052, 44733413, 44870531, 45130596, 45579685, 49340036, 68505765, 88593477, 146511208, 180450907, 180975193, 277668893, 359260756, 369560719, 440329717, 451855933, 468672187, 472335975, 525584347, 527799103, 534494836, 564207094, 756738746, 837322786, 857521513, 912985153, 951385123, ...

Suite S(4) des nombres qui font partie d’un cycle sans être « narcissiques » ; Hans Havermann les appelle « pseudo-altruistes » :

S(4) = 136, 160, 217, 244, 259, 352, 496, 586, 664, 736, 853, 862, 1009, 2178, 2929, 3233, 3283, 4274, 4394, 6514, 6562, 7154, 10933, 13154, 18829, 50062, 58618, 59536, 73318, 76438, 124618, 282595, 312962, 329340, 376761, 537059, 578955, 681069, 824963, 845130, 886898, 958109, 1340652, 1626673, 1665667, 1680387, 2021413, 2191663, 2350099, 2689794, 2755907, 2767918, 5018104, 5299971, 5345158, 5841646, 5908997, 5981093, 6586433, 6611844, 8139850, 8282107, 8807272, 9057586, 9646378, 11602212, 11743403, 12783081, 13216291, 15250704, 17347727, 17571846, 23070276, 23131558, 27073124, 30442597, 39326052, 44733413, 44870531, 45130596, 45579685, 49340036, 68505765, 180450907, 180975193, 277668893, 359260756, 369560719, 440329717, 451855933, 468672187, 525584347, 527799103, 564207094, 756738746, 837322786, 857521513, 951385123, 1139785743, 1418899523, 3559173428, 4863700423, 5136409024, 7377037502, 9131926726, 59906808718, 66814785298, 71352591397, 90920874919, 99312318232, 136095696124, 571650873350, 1113928853354, 1128275756843, 1308860468429, 3396705890823, 3643890762383, 3654709782417, 3656948275943, 3764461348892, 3764592377975, 4217390478269, 5486860104254, 5650346085989, 5759076689801, 5840462013812, 6213095485028, 6294418483143, 6405584099531, 22955961974580, 24318257549352, 27510477911590, 27971919071792, 28794385423806, 32357226447319, 36834169210461, 47800729611562, 73803590128032, 94220062144011, 255349823145519, 321411732579837, 447090882837630, 1988938580054728, 2276352319249162, 2419253396913226, 2766744975063429, 3745072497367240, 3814368015105159, 4314122390900936, 4840861420987271, 5146957705687367, 5561890395668808, 5564859798630665, 18963633035544997, 21697619891079652, 21897923093961655, 21914086555935085, 25950934023321628, 33637808638944484, 35624633319183334, 35876461872431926, 36306344090162179, 37878721692554416, 37909523382771553, 38160589126493611, 52551389500766905, 69228536582676925, 69477330558375418, ...

Hans termine son courrier avec cette question pertinente :

Knowing that the number of cycles of length 1 is finite, a question remains:

Is the number of cycles of ALL possible lengths also finite?

Qui trouvera par ailleurs ne fut-ce qu’un cycle de longueur 5 ? En existe-t-il ?

__________

Depuis cet appel à l’aide, un cycle de longueur 5 a été trouvé indépendamment par Hans Havermann puis Jean-Paul Davalan :

3656948275943 5759076689801 6405584099531 5650346085989 6213095485028

« Ces nombres ont 13 chiffres. Il n'existe pas d'autre 5-cycle contenant un nombre de 17 chiffres ou moins », précise Jean-Paul.

Merci à tous,

(à suivre)

É.

(cette page du site de Harvey Heinz nous fut précieuse)

__________

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