Au E suivant

La suite E est intéressante – et un peu sèche dans sa marche (chaotique) vers l’infini :

E = 2, 10, 12, 6, 6, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 6, 6, 6, 15, 15, 15, 15, 6, 6, 6, 15, ...

Écrivons E en toutes lettres :

E = DEUX, DIX, DOUZE, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, QUINZE, QUINZE, QUINZE, SIX, SIX, SIX, QUINZE, ...

Faisons suivre chaque lettre E d’une fine barre verticale :

Le nombre de lettres placées entre deux barres successives est donné par la suite elle-même.

Fabrication :

Après le départ E| = DE|UX, DIX, DOUZE|, SIX, SIX, QUINZE|, ... a été appliqué le morphisme suivant :

2 10 12

a --> b

b --> aaab

... avec a = SIX et b = QUINZE, car nous avons remarqué que QUINZE s’écrit avec 6 lettres dont un E unique en dernière position, et SIX SIX SIX QUINZE avec 15 lettres dont un E unique également en dernière position. C’est le morphisme le plus simple, semble-t-il, car il ne met en jeu que deux nombres. D’autres morphismes auraient été possibles :

a --> b SIX --> QUATRE

b --> c QUATRE --> ONZE

c --> aad ONZE --> SIX SIX DOUZE

d --> aab DOUZE --> SIX SIX QUATRE

... ce qui aurait produit une autre suite E :

E = DEUX, DIX, DOUZE, SIX, SIX, QUATRE, QUATRE, QUATRE, ONZE, ONZE, ONZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, QUATRE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, QUATRE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, QUATRE, ONZE, ONZE, QUATRE, QUATRE, ONZE, ONZE, ONZE, QUATRE, QUATRE, ONZE, ONZE, ONZE, QUATRE, QUATRE, ONZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, ONZE, ONZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, ONZE, ONZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, DOUZE, ONZE, ONZE, SIX, SIX, DOUZE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, QUATRE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, QUATRE, ...

Cette suite auto-décrit donc aussi la taille des blocs de lettres successifs qui se terminent par E.

Une telle suite E pourrait-elle contenir tous les nombres jusqu’à un milliard ? Oui, probablement – au prix de quelques contorsions. Nous présentons plus bas une suite E infinie qui affiche au moins une fois tous les mots qui nous permettent d’écrire les nombres jusqu’à mille milliards [soit un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt(s), et, trente, quarante, cinquante, soixante, cent(s), mille, million(s), milliard(s)]. Cette suite E est infinie car les « trous » (crées en aval par les nombres écrits en amont) seront comblés grâce au morphisme en a, b, c, d vu plus haut. En effet, quelle que soit la taille desdits trous (supérieure à 4), ces derniers pourront toujours être comblés (à l’infini) par un assemblage de mots a, b, c et d bien choisis. Voici comment :

Taille du trou Assemblage (un trou sera toujours bordé à droite par la lettre E)

4 ONZE

5 DOUZE

6 QUATRE

7 SIX ONZE

8 SIX DOUZE

9 SIX QUATRE

10 SIX SIX ONZE

11 SIX SIX DOUZE

12 SIX SIX QUATRE

13 SIX SIX SIX ONZE

14 SIX SIX SIX DOUZE

15 SIX SIX SIX QUATRE

16 ...

On a compris la méthode de comblement – et pourquoi E se prolonge à l’infini. Voici donc la suite que vous proposerez à vos enfants pour Noël : ébahissement garanti ! Imprimez-là, distribuez des crayons et livrez le mode d’emploi :

« Regardez cette suite de nombres, mes chéris, elle est magique ! Tracez au crayon une barre verticale derrière chaque E – aussi loin que vous voulez dans la suite ! Comptez maintenant les lettres qui sont écrites entre deux barres : vous ne remarquez rien ? »

E = DEUX, HUIT, SEPT, SIX, NEUF, ONZE, DIX, QUATRE, TROIS, QUINZE, TROIS, DIX-SEPT, SEIZE, CINQ, VINGT-SIX, TREIZE, TROIS, UN, VINGT, DIX-NEUF, SIX, DIX, QUATORZE, DOUZE, VINGT-SIX, DIX-HUIT, VINGT-QUATRE, VINGT-TROIS, TRENTE ET UN, UN MILLION, QUARANTE, UN MILLIARD, CINQUANTE, HUIT, CENT, SIX, MILLE, SIX, SIX, SOIXANTE, SIX, SIX, QUATRE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, SIX, SIX, QUATRE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, QUATRE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, DOUZE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, ONZE, [SIX, SIX, SIX, ... (333332 « SIX » en tout dans l’intervalle entre crochets)... SIX], ONZE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, ONZE, [SIX, SIX, SIX, ... (3333332 « SIX » en tout dans l’intervalle entre crochets)... SIX], ONZE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, DOUZE, SIX DOUZE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, ONZE, QUATRE, [SIX, SIX, SIX, ... (332 « SIX » en tout dans l’intervalle entre crochets)... SIX], ONZE, QUATRE, QUATRE, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, SIX, QUATRE,...

P.-S.

Voici une tentative personnelle en anglais – publiée le 13 décembre sur la liste Math-fun :

> Print this enumeration on a few sheets of paper and give pencils around:

Six, one, eight, five, two, seven, four, ten, one, two, two, three, seven, zero, close.

Ask the kids to draw a thin vertical stroke after each letter "e". Count the letters between the strokes. Enjoy!

Voici la réponse (reçue en privé) d’Erich Fridman:

> Fascinating!

This is about as long as I could get with a reasonable ending:

Six, one, eight, five, two, seven, six, one, fourteen, two, four, four, seven, one, nine, two, three, two, four, seven, seven, one, four, one, two, three, three, sequence.

Cette remarque m’a encouragé à fabriquer ceci, publié sur la liste Math-fun également :

Here we go to infinity thanks to the morphism:

FOUR --> NINE

NINE --> FORTY-FIVE

FORTY-FIVE --> FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FORTY-FIVE

E = SIX TWENTY FOUR FOUR FORTY-FIVE NINE NINE FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FORTY-FIVE FORTY-FIVE FORTY-FIVE NINE NINE NINE NINE NINE NINE NINE NINE NINE FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FOUR FORTY-FIVE ...

Ce type de suite est peut-être une manière d’illustrer le Post correspondence problem (que je ne connaissais pas), évoqué sur la liste par Adam P. Goucher :

>> Six, one, eight, five, two, seven, four, ten, one, two, two, three, seven, zero, close.

> That’s a solution of the Post correspondence problem over the words:

xxe|e

xxx|xe

xxxee|xxe

xxxx|xxxe

xxxe|xxxxe

xxx|xxxxxe

xexex|xxxxxxe

exxxx|xxxxxxxe

xxxe|xxxxxxxxe

xex|xxxxxxxxxe

xexxxxxxe|

As well as the restriction that the final word (‘zero close’) appears once at the end of the string.

Merci Erich et Adam !

___________________

Le principe des barres verticales placées derrière un jalon particulier permet de produire des suites auto-descriptives purement numériques, comme celles ci-dessous.

S = 1, 2, 10, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 21, 20, 12, 22, 13, 23, 31, 24, 25, 41, 26, 27, 28, 14, 29, 30, 32, 15, 33, 34, 35, 51, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 61, ...

Vérifions. Opération 1 – tracer les barres derrière les « 1 » :

S = 1|, 2, 1|0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 21|, 20, 1|2, 22, 1|3, 23, 31|, 24, 25, 41|, 26, 27, 28, 1|4, 29, 30, 32, 1|5, 33, 34, 35, 51|, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 61|, ...

Opération 2 – compter les chiffres entre les barres (ligne « c »)

c = 1 2 10 3 4 5 6

S = 1|, 2, 1|0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 21|, 20, 1|2, 22, 1|3, 23, 31|, 24, 25, 41|,

7 8 9 20 ...

26, 27, 28, 1|4, 29, 30, 32, 1|5, 33, 34, 35, 51|, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 61|, ...

Opération 3 – comparer la ligne « c » à S (oui, ce sont bien les mêmes).

Pour construire S, nous avons toujours adjoint le plus petit entier possible non encore présent dans S qui ne conduise pas à une contradiction.

Le jalon eut pu être le chiffre « 2 ». Voici la suite T résultante :

T = 3, 1, 2, 20, 21, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 23, 17, 18, 19, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 12, 37, 32, 38, 39, 24, 40, 41, 25, 43, 44, 42, ...

On vérifiera qu’elle s’auto-décrit bien :

c = 3 1 2 20 21

T = 3, 1, 2|, 2|0, 2|1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 2|3, 17, 18, 19, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 12|,

4 5 6 7 ...

37, 32|, 38, 39, 2|4, 40, 41, 2|5, 43, 44, 42|, ...

Pour construire T, adjoindre ici aussi le plus petit entier possible non encore présent dans T ne conduisant pas à une contradiction.

On voit que 8 autres suites de ce type sont constructibles – celles dont les barres verticales seront portées derrière 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.

Aucune des ces suites n’est une permutation de N (les nombres naturels). P l’est, ci-dessous :

P = 4, 1, 6, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 5, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 7, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 30, 32, 33, 101, 34, 35, 36, 38, 39, 103, ...

Tracer une barre verticale après chaque nombre premier ; la quantité de chiffres entre deux barres sera donnée par P elle-même.

Vérification (les nombres premiers sont en jaune et les quantités de chiffres contenues dans chaque bloc sont visibles sur la ligne « c ») :

c = 4 1 6 2 3 8 9 10

P = 4, 1, 6, 2|, 3|, 8, 9, 10, 11|, 13|, 12, 5|, 14, 15, 16, 17|, 18, 20, 21, 22, 7|, 24, 25, 26, 27, 19|,

11 13 ...

28, 30, 32, 33, 101|, 34, 35, 36, 38, 39, 103|, ...

P et c sont les mêmes.

La suite L ci-dessous revient aux lettres – il faut maintenant tracer une barre verticale après chaque nombre premier (écrit en toutes lettres), et l’on vérifiera que la quantité de chiffres entre deux barres est bien donnée par P elle-même.

[P n’est pas une permutation de N car le mot « un », par exemple, ne pourra jamais y figurer (si « un » faisait partie de L, cela voudrait dire qu’il existe un bloc de lettre de taille 1 quelque part dans L – ce qui est impossible : aucun nom de nombre français ne comporte qu’une seule lettre)].

L = huit, sept, six, onze, treize, neuf, dix-sept, quinze, dix-neuf, vingt-neuf, dix-huit, vingt-trois, douze, trente et un, dix, quatorze, cent-sept, seize, vingt, vingt et un, trente-sept, vingt-deux, cent trois, vingt-quatre, trente, cent un, quarante et un, vingt-cinq, vingt-six, cinquante-trois, cent treize, soixante et onze, ...

Vérification (les nombres premiers sont en jaune) :

c = 8 7 6 11 13 9 17

15 19 29 18

douze, trente et un|, dix, quatorze, cent-sept|, seize, vingt, vingt et un, trente-sept|, vingt-deux, cent trois|,

23 12 31 10 14 ...

__________

Merci à tous,

à+

É.

(dernière mise à jour: 16 décembre 2011)