J’ai posé ce problème en anglais et en mai 2007 à la liste Seq-Fan :

« Construire une suite strictement croissante d’entiers tels que la somme S de trois termes consécutifs de la suite ne partage aucun chiffre avec les entiers d’origine. Dans la construction de la suite on choisira toujours le petit entier possible »

« C’est pas de l’angliche, c’est du chinetoque ! » – a rigolé Zazie.

Disons ça autrement :

Soit [A(n)+A(n+1)+A(n+2)] = S

Aucun des chiffres à gauche du signe « = » ci-dessus de peut se retrouver à droite.

La suite ci-dessous illustre la contrainte ; elle commence par les entiers 0, 1 et 2 (mais il eût pu en être autrement) et fut calculée par Max Alekseyev :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 63, 64, 65, 68, 69, 73, 76, 79, 80, 83, 86, 88, 96, 116, 118, 119, 120, 124, 125, 128, 140, 267, 426, 440, 445, 446, 447, 460, 474, 604, 733, 774, 775, 777, 778, 779, 785, 797, 818, 819, 830, 873, 888, 889, 890, 893, 894, 913, 915, 916, 939, 945, 977, 1111, 1114, 1128, 1148, 1224, 1227, 1229, 1400, 2704, 2729, 2732, 2939, 2940, 2972, 2973, 4223, 4320, 6608, 6623, 6680, 6688, 7743, 7760, 9608, 14854, 48310, 159058, 414854, 1648310, 5159058, 15414854, 15748410, 31058958, 175414854, 415748410, 1631058958.

On voit que 0+1+2=3 satisfait bien l’énoncé. Ainsi que 9+10+14=23. En revanche « 11 » est absent de la suite car 9+10+11=30 avec « 0 » se trouvant des deux côtés du signe « = ».

J’avais posé aussi la question de savoir si de telles suites étaient toujours finies. Max prouve (en anglais) que celle-ci l’est, en tout cas :

> Suppose that the next term is x, then the sum

s = 415748410 + 1631058958 + x = 2046807368 + x

may contain only decimal digit 2.

Therefore, all solutions are given by the formula:

x(k) = 2*(10^k-1)/9 - 2046807368

where k>=10.

It is easy to see that while x(10)=175414854 is

smaller than 1631058958 (hence, it cannot be an

element of our sequence), all other x(k) contain

a decimal digit 2 which is not allowed:

x(11) = 20175414854

x(12) = 220175414854

x(13) = 2220175414854

...

> Therefore, there is no next term in this sequence.

> QED.

En sera-t-il toujours ainsi, quels que soient les trois entiers de départ ?

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Je n’ai pas de réponse non plus pour les suites où l’on n’additionne que deux termes : [A(n)+A(n+1)] = S

Qu’en est-il par exemple pour celle qui commence par 1 et 2 :

T = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 35, ... (voir ici)

Amitiés,

É.