Suites corrélées
Nous voulons :
- répartir l’ensemble des entiers naturels entre
deux suites de nombres S(a) et S(b) telles que :
- S(a) décrive une qualité de S(b) et S(b) décrive
la qualité « complémentaire » de S(a).
Exemple de qualité pour S(a) : « blocs
d’entiers croissants consécutifs ».
Exemple de qualité complémentaire pour S(b) :
« blocs d’entiers décroissants consécutifs ».
Et les suites :
S(a) = 1, 4, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 15, 20,
21, 22, 23, 24, 26, 25, 36, 37, 38, 39, 41, 40, 52, 53, 54, 56, 55, 68, 69, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 86, 85, 99, 100, ...
S(b) = 2, 8, 7, 6, 5, 19, 18, 17, 35, 34, 33, 32,
31, 30, 29, 28, 27, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 67, 66, 65, 64, 63,
62, 61, 60, 59, 58, 57, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88, 87, ...
S(a) décrit la taille des blocs d’entiers croissants consécutifs dans S(b)
S(b) décrit la taille des blocs d’entiers décroissants consécutifs dans S(a)
Par construction les nombres naturels sont répartis
entre S(a) et S(b).
Prenons S(b) et lisons son premier terme, « 2 » :
S(b)
= 2, 8, 7, 6, 5, 19, 18, 17, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, ...
... ce 2 signifie que
« la taille du premier bloc d’entiers croissants
consécutifs dans S(a) vaut 2 ». Vérifions en regardant le début de S(a) :
S(a) = 1, 4, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 15, 20, 21,
22, 23, 24, 26, 25, ...
... oui, 1 et 4 forment bien un « bloc
d’entiers croissants consécutifs de taille 2 ». Le nombre « 3 »,
juste après « 4 » est inférieur à 4 et ne fait donc pas partie du
bloc.
Lisons à présent le début de S(a) :
S(a) = 1, 4, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 15, 20,
21, 22, 23, 24, 26, 25,
Le « 1 » de S(a) dit que « la taille
du premier bloc d’entiers décroissants
consécutifs dans S(a) vaut 1 ». Vérifions en regardant le début de
S(b) :
S(b) = 2, 8, 7, 6, 5, 19, 18, 17, 35, 34, 33, 32,
31, 30, 29, 28, 27, ...
... oui, 2 forme bien un bloc (ne comportant certes
qu’un seul élément), « d’entiers consécutifs décroissants » car le
nombre « 8 », venant juste après 2, est supérieur à celui-ci et ne
peut donc faire partie d’un « bloc décroissant ».
S(a) et S(b) s’autodécrivent donc (du point de
vue des blocs croissants/décroissants) ; on le visualise bien ici où se
matérialisent en bleu les ruptures de croissance/décroissance des deux suites,
et la taille des blocs associés :
S(a)=1,4,3,9,10,11,12,13,14,16,15,20,21,22,23,24,26,25,36,37,38,39,41,40,52,53,54,56,55,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,86,85,99,100,...
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2 8 7 6 5 19 <---- ceci forme S(b)
S(b) = 2,8,7,6,5,19,18,17,35,34,33,32,31,30,29,28,27,51,50,49,48,47,46,45,44,43,42,67,66,65,64,63,62,61,60,59,58,57,98,97,96,95,94,93,92,91,90,89,88,87,...
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1 4
3 9 10 11 <---- ceci forme S(a)
[publié le 22 juin 2010 sur
SeqFans]
__________
P.-S.
Quelle merveille, ce concept !
(note de l’auteur qui n’a
pas été suivi par grand monde sur ce point !)