Suites-virgules
Cette page-ci
explique (en anglais) la naissance des premières
« commas sequences » (suites-virgules). Voici S,
celle qui donna son nom au genre (c’est aussi la suite A121805 de l’OEIS) :
S =
1,12,35,94,135,186,248,331,344,387,461,475,530,535,590,595,651,667,744,791,809,908,997,1068,1149,...
Le principe de
construction est le suivant : la différence entre deux termes consécutifs
de S se lit autour de la virgule qui
les sépare.
Ainsi l’écart
séparant 35 de 94 (ci-dessus) est-il de 59 :
35,94.
Et celui séparant 94 et 135 (toujours ci-dessus) est-il de 41 : 94,135.
On appellera « nombre-virgule » V tout nombre de deux
chiffres dont le premier est le dernier de A et le deuxième le premier de B,
tel que A+V=B.
Notons que les écarts inférieurs à 10, dans S ci-dessus, commencent par un zéro ; ainsi les termes 530 et
535 ont-ils pour différence 05 (au lieu de 5, en
toute orthodoxie graphique).
On remarquera également que S
est croissante et monotone.
« Suites-virgules »
croissantes
L’écart séparant deux nombres consécutifs de S est donc toujours inférieur à 100 [car 100 s’écrit avec trois
chiffres ; or nous ne disposons que de deux chiffres pour écrire la
différence entre a(n) et a(n+1)].
On observe rapidement (comme le firent The Qurqirish Dragon et Nicolas
Graner en 2006) que certains nombres admettent
deux successeurs (14, 33, 52 et 71, par exemple), lesquels feront bifurquer éventuellement une suite en
cours :
...,14,59 (14+45=59) ou ...,14,60 (14+46=60)
...,33,69 ou ...,33,70
...,52,79 ou ...,52,80
...,71,89 ou ...,71,90
David Wilson (sur la page citée plus haut) montre que ces
nombres, lorsqu’ils sont supérieurs à 111, font partie d’une famille B bien définie :
There is also a sparse set of integers
that have two successors, these form the (...) set :
B
= { (10^x + 9)y - 100 ; x >= 2 and 2 <= y <=
9 }
or
B
= {118, 227, 336, 445, 554, 663, 772, 881, 1918, 2927, 3936, 4945, 5954, 6963,
7972, 8981, 19918, 29927, 39936, 49945, 59954, 69963, 79972, 89981, ... }
On voit le motif mis en évidence par David Wilson :
111 118 227
336 445 554
663 772 881
1918 2927
3936 4945 5954
6963 7972 8981
19918 29927
39936 49945 59954
69963 79972 89981
199918 299927 399936
499945 599954 699963 799972 899981 ...
La suite-virgule S commençant par 1 et croissant le plus
lentement est celle qui ouvre cette page (on s’oblige donc, quand on tombe sur un
des nombres de la famille B, à poursuivre S par son plus petit successeur possible).
Edwin Clark a montré en décembre 2006 que S ne se poursuit pas à l’infini :
elle s’arrête au deux millions cent trente-sept mille quatre cent
cinquante-troisième terme !
The sequence contains exactly 2137453 terms, with
a(2137453)=99999945. The next term does not exist. - Edwin Clark, Dec 11 2006
David Wilson indique qu’une famille T de nombres est constituée en effet de
« bloqueurs » de S ;
toute suite passant par l’un d’eux s’arrête instantanément (le bloqueur
ci-dessus est 99999945) :
(...) there are a smattering of integers
that have no successor, specifically, the integers in the set T
T
= { (10^x + 9y) - 100 : x >= 2 and 2 <= y <= 9 }
That is
T
= {18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 918, 927, 936, 945, 954, 963, 972, 981,
9918, 9927, 9936, 9945, 9954, 9963, 9972, 9981, ...}
If a comma sequence reaches an element of
T, the sequence ends there.
Le motif bloqueur évoque
celui des nombres à deux successeurs :
18 27
36 45 54
63 72 81
918 927
936 945 954
963 972 981
9918 9927
9936 9945 9954
9963 9972 9981
99918 99927 99936 99945
99954 99963 99972 99981 ...
La parenté des motifs vient de l’étrange similitude entre les
formules définissant les familles B
et T [nombres à deux successeurs et
nombres à zéro successeur (aucun nombre n’a trois successeurs ou plus)]
Y aurait-il des suites-virgules
S qui ne bloquent jamais ? Oui,
affirme le même David Wilson, celle
qui commence avec 20, par exemple :
S2 = 20,22,46,107,178,260,262,284,327,401,...
Qui prouvera (ou infirmera) cette conjecture ?
_____
« Suites-virgules »
non croissantes
On peut fabriquer des suites Q
non croissantes [le terme a(n+1) n’est pas obligatoirement
plus grand que le terme a(n) qui le précède dans la suite G]. Il
faut alors que les « nombres-virgules » V soient égaux à la valeur absolue séparant a(n) de a(n+1). On fait
alors suivre 32 de trois termes différents, au choix :
6
/
32 - 11
\
57
On aurait alors les possibilités suivantes :
...,32,6,... ...,32,11,... et
...,32,57,...
En effet 32+25=57 ; 32-26=6 et 32-21=11. Les chiffres surlignés sont ceux qui entourent la
virgule ; concaténés ils forment la différence
absolue |a(n)-a(n+1)|
Voici quelques exemples de suites Q commençant par 10 (c’est le plus petit nombre ayant deux
successeurs) :
Q1 = 10,5,61,47,118,35,...
Q2 = 10,5,61,47,118,199,...
Q3 = 10,5,61,47,118,200,...
Q4 = 10,5,61,78,159,63,...
Q5 = 10,5,61,78,159,251,...
Q6 = 10,11,23,58,139,45,...
Q7 = 10,11,23,58,139,231,...
On pourra voir 10, le nombre initial, comme graine à
l’origine d’un arbre :
35 ...
/
47 - 118 - 199 ...
/ \
5 - 61 200 ...
/
\
10 78 - 159
- 63 ...
\ \
11 251 ...
\
23 - 58 - 139 - 45 ...
\
231 ...
Remarquons déjà que
certains parcours dans l’arbre conduisent à des boucles :
10-5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-10-...
La majorité des
nombres ont à présent plusieurs successeurs (plus
petits ou plus grands qu’eux). Le maximum semble être de trois, comme pour 32 (voir ci-dessus), ou pour 71 :
56
/
71 - 89
\
90
Ces nombres à trois
successeurs forment la suite :
3suc = 32, 71, 76, 98, 111, 118, 122, 133,
144, 155, 166, 177, 188, ...
Et les
prédécesseurs ? Tout nombre est désormais produit par un ou deux autres nombres,
au maximum – jamais par trois. Le plus petit nombre ayant deux prédécesseurs
est 11 :
10
\
32 - 11
Le plus petit nombre
au confluent de cinq autres nombres (prédécesseurs à
gauche, successeurs à droite) est 71 :
24
56
\ /
71
-89
/ \
158
90
Que deviennent les
nombres « bloqueurs » rencontrés plus haut ? Ils ne sont plus
que quatre (tous multiples
de 9) : 18, 27, 36 et 45. Toute suite Q passant par l’un d’eux sera irrémédiablement finie. Il en
est ainsi des branches contenant 3 ou 31, par exemple, lesquelles peuvent être
qualifiées de « mortes » dans un arbre (se
lisant toujours de gauche à droite) :
... 14
55 - 106 ...
\
/
... 70 115 ...
... 126 - 60 127 ... \ /
\
/
64 74 - 31 - 45 [fin]
66 - 3 - 36 [fin] \ /
/ ... 98 - 9 91
75 ...
... 53 - 92
\ /
\ /
/
\ ...
111 - 100 102
... 111
113 ... / \
... 133 123 ...
Un réseau infini se
construit rapidement, sur les modèles arborescents ci-dessus, où chaque nombre
est lié à un, deux, trois, quatre ou cinq autres. Parcourir ce réseau est
passionnant, on y découvre par exemple plusieurs boucles (comme celle du 10 vue plus
haut), dont la plus courte, semble-t-il, ne contient que quatre
éléments : 90-99-190-189-(90).
Boucles
Voici, pour les
nombres 1 à 100, les boucles les plus courtes (travail
effectué à la main : améliorations possibles ?). Plusieurs
chemins de longueur équivalente sont parfois possibles (celui surligné de jaune est celui qui « consomme » le moins de
chiffres ou celui qui utilise les
nombres les moins élevés, cf. 11) :
1-12-35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-(1)
2-24-71-90-82-57-128-44-(2)
3-36]
4-48-129-221-233-265-318-236-175-227-156-88-(4)
5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-10-(5)
6-73-104-59-150-149-54-7-85-32-(6)
7-85-136-197-126-60-55-106-42-68-149-54-(7)
8-97-25-83-49 -140-141-152-173-205-154-113-76-(8)
9-100-91-102-75-126-187-116-177-98-(9)
10-5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-(10)
11-23-58-139-231-219-128-44 -2 -24
-71 -90 -82 -103-67-138-53-21-10-(11)
11-23-58-139-231-243-211-223-192-214-256-195-144-103-67-138-53-21-10-(11)
12-35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-(12)
13-47-118-200-202-181-170-171-160-161-150-149-54-(13)
14-60-66-127-198-117-43-81-65-(14)
15-72-48-129-221-233-201-213-182-204-163-132-111-92-113-76-(15)
16-84-40-44-93-124-165-114-155-104-145-87-(16)
17-96-33-70-64-22-46-107-178-260-258-177-98-(17)
18]
19-110-111-100-91-102-75-126-60-55-106-42-20-(19)
20-19-110-111-100-91-102-75-126-60-55-106-42-(20)
21-34-82-103-67-138-53-(21)
22-46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-(22)
23-58-139-231-219-128-44-93-124-77-148-62-91-102-75-(23)
24-71-90-82-103-134-86-(24)
25-83-49-140-141-152-173-205-154-113-76-8-97-(25)
26-95-146-208-290-288-206-145-87 -16 -84 -40 -37 -108-(26)
26-95-146-79
-170-169-72 -48 -129-221-209-118-199-108-(26)
27]
28-109-201-190-191-180-181-170-171-160-159-63-30-(28)
29-120-121-110-111-92-113-144-95-41-(29)
30-33-69-160-159-63-(30)
31-45]
32-6-73-104-59-150-149-54-7-85-(32)
33-69-160-159-63-30-(33)
34-82-103-67-138-53-21-(34)
35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-12-(35)
36]
37-108-26-95-146-208-290-288-206-145-87-16-84-40-(37)
38-119-211-223-255-308-226-288-206-268-187-116-51-(38)
39-130-131-142-163-194-153-122-93-124-77-148-62-(39)
40-44-93-124-165-114-155-104-145-87-16-84-(40)
41-29-120-121-110-111-92-113-144-95-(41)
42-68-149-54-7-85-136-197-126-60-55-106-(42)
43-81-65-14-60-66-127-198-117-(43)
44-93-58-139-231-219-128-(44)
45]
46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-22-(46)
47-118-200-202-181-170-171-160-161-150-149-54-13-(47)
48-129-221-233-265-318-236-175-227-156-88-4-(48)
49-140-141-152-173-205-154-113-76-8-97-25-83-(49)
50-46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-105-(50)
51-38-119-211-223-255-308-226-288-206-268-187-116-(51)
52-79-170-171-182-204-163-132-111-92-66-127-(52)
53-21-34-82-103-67-138-(53)
54-7-85-32-6-73-104-59-150-149-(54)
55-106-167-89-180-179-81-65-14-60-(55)
56-117-188-99-190-189-90-22-57-128-44-2-24-71-(56)
57-128-44-2-24-71-90-82-(57)
58-139-231-219-128-44-93-(58)
59-150-149-54-7-85-32-6-73-104-(59)
60-66-127-198-117-43-81-65-14-(60)
61-78-159-63-30-33-70-64-105-156-218-137-(61)
62-91-74-115-166-105-50-55-106-167-239-148-(62)
63-30-33-69-160-159-(63)
64-105-50-46-107-34-82-103-134-86-147-70-(64)
65-116-177-106-167-89-180-179-81-(65)
66-127-198-117-43-81-65-14-60-(66)
67-138-53-21-34-82-103-(67)
68-149-54-7-85-136-197-126-60-55-106-42-(68)
69-160-159-63-30-33-(69)
70-64-105-50-46-107-34-82-103-134-86-147-(70)
71-90-82-57-128-44-2-24-(71)
72-48-129-221-209-118-199-108-26-95-146-79-170-169-(72)
73-104-59-150-149-54-7-85-32-6-(73)
74-115-166-105-50-55-106-167-239-148-62-91-(74)
75-126-187-116-177-98-9-100-91-102-(75)
76-8-97-25-83-49-140-141-152-173-205-154-113-(76)
77-148-62-91-102-123-154-113-144-103-134-175-124-(77)
78-159-63-30-33-70-64-105-156-218-137-61-(78)
79-170-171-182-204-163-132-111-92-66-127-52-(79)
80-73-104-145-87 -16 -84 -125-176-115-166-97 -168-(80)
80-73-104-145-87
-158-71 -89 -180-179-271-259-168-(80)
80-73-104-145-196-135-186-125-176-115-166-97
-168-(80)
80-88-169-261-249-158-71
-89 -180-179-271-259-168-(80)
80-88-169-261-273-241-229-138-53
-92 -66 -127-52 -(80)
81-65-14-60-66-127-198-117-43-(81)
82-103-67-138-53-21-34-(82)
83-114-155-96-157-229-138-53-92-113-76-8-97-25-(83)
84-40 -44 -93 -124-165-114-155-104-145-87-16-(84)
84-125-176-238-321-308-226-164-206-145-87-16-(84)
85-32-6-73-104-59-150-149-54-7-(85)
86-24-71-90-82-103-134-(86)
87-16-84-40-44-93-124-165-114-155-104-145-(87)
88-169-261-249-342-319-227-156-(88)
89-180-179-81-65-116-177-106-167-(89)
90-99-190-189-(90)
91-102-75-126-187-116-177-98-9-100-(91)
92-113-144-103-67-138-53-(92) <—— boucle pandigitale
93-58-139-231-219-128-44-(93)
94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-12-35-(94)
95-41-29-120-121-110-111-92-113-144-(95)
96-157-229-138-53-92-113-76-8-97-25-83-114-155-(96)
97-25 -83-49 -140-141-152-173-205-154-113-76 -8 -(97)
97-168-80-73
-104-145-87 -16 -84 -125-176-115-166-(97)
97-168-80-73
-104-145-196-135-186-125-176-115-166-(97)
98-9-100-91-102-75-126-187-116-177-(98)
99-190-189-90-(99)
100-91-102-75-126-187-116-177-98-9-(100)
Le réseau, évoqué
plus haut, relie tous les nombres naturels et présente plusieurs zones très
structurées. On peut y avancer (de gauche à droite, toujours) par des
obliques se coupant à angle droit, rappelant le dessin en « grille »
de certaines villes américaines :
142 ↑
112↑
On voit ici que les
chemins reliant par exemple 142 à 112 (flèches), sont
nombreux ; il suffit de monter ou de descendre vers un losange voisin,
puis de répéter l’opération (quand on monte on ajoute le
« nombre-virgule », quand on descend on le retranche ; ainsi
ira-t-on de 142 à 163 en ajoutant 21 et de
142 à 121 en retranchant ce
nombre ; tant 163 que 121 permettent de retomber sur 132 et de poursuivre
sa route. Répétons qu’on circule sur la « grille » de gauche à
droite, jamais de droite à gauche ; pour « boucler » il faut
trouver des « passages secrets » ou des « raccourcis »
permettant de « remonter » la grille — dont on n’aperçoit qu’un
échantillon ici).
Itinéraires-bis
On vient de voir que
des chemins alternatifs semblent toujours possibles, quand on veut relier deux
nombres. En voici d’autres exemples :
64-105-50-46
64 - 22 - 46
76 -
15 - 72-48
76-8-97-168-80-88-169-72-48
76-8-97-168-80-88- 4 -48
71-56-117-43 -81
71-89-180-179-81
114-155-104-59-150-149
114 -
68 - 149
Pandigitalité
Plusieurs boucles
sont pandigitales (elles contiennent tous les chiffres, de 0 à 9) ; la plus
courte semble être celle attachée au nombre 92, ci-dessus :
92-113-144-103-67-138-53-(92)
Si l’on veut que les
dix chiffres se touchent, il semble que les boucles les plus courtes soient ces
neuf-ci :
29-120-121-110-111-100-101-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-110-111-122-101-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-110-111-122-143-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-111-100-101-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-111-122-101-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-111-122-143-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-153-122-101-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-153-122-143-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
29-120-121-132-153-184-143-112-84-40-37-108-26-95-41-(29)
[On compte neuf boucles car il y a neuf façons de joindre 120 à 112 sur
le « réseau », comme on le vérifiera sur l’illustration]
Il y a moyen de
répartir les dix chiffres sur deux ou trois nombres (au
lieu de cinq, comme ci-dessus) ; voici les plus petits doublet et triplet
pandigitaux (nous laissons au lecteur le plaisir de les insérer
dans une boucle courte !) :
Doublet : ...,124057,123986,...
Triplet : ...,2046,1985,2037,...
Voici la plus petite
portion pandigitale actuelle du réseau - elle est
construite autour du nombre 217 :
165 146
\ /
217
/ \
309 289
Peut-on faire
mieux ? (c’est-à-dire trouver une portion de réseau dont la
somme des termes vaut moins que ci-dessus, soit 926 ?)
« V » constant
Quels seraient les
couples successifs de même « nombre-virgule » V (présentant donc une différence constante) ?
Observons quelques V possibles (il y
en a moins de 100, comme nous l’avons vu, puisqu’ils ne peuvent s’écrire
qu’avec deux chiffres).
V=01 V=02 V=03 V=04
... V=10 ou V=11 V=12 V=13 V=14 ...
20,30,40
0-1
0-2 0-3 0-4 50,60,70 1-12
11-23 21-34 31-45
10-11
20-22 30-33 40-44 80,90 21-10 41-29
51-38 61-47
20-19
30-28 40-37 50-46 91-102 191-203
291-304 391-405
100-101
200-202 300-303 400-404
rien, 101-112 201-213
301-314 401-415
110-109
210-208 310-307 410-406
car aucun 111-100 211-223
311-324 411-425
110-111
210-212 310-313 410-414
nombre 111-122 221-209
321-308 421-407
120-119
220-218 320-317 420-416
de Q ne 121-110
221-233 321-334 421-435
120-121
220-222 320-323 420-424 peut
121-132 231-219 331-318
431-417
...
... ... ...
commencer ...
... ... ...
200-199
300-298 400-397 500-496 par
201-190 311-299 411-398
511-497
1000-1001
2000-2002 3000-3003 4000-4004
zéro (0) 991-1002 1991-2003
2991-3004 3991-4005
1010-1009
2010-2008 3010-3007 4010-4006 1001-1012 2001-2013
3001-3014 4001-4015
1010-1011
2010-2012 3010-3013 4010-4014 1011-1000 2011-2023
3011-3024 4011-4025
...
... ... ... ... ... ... ...
Il est possible de
transformer tout ensemble de couples ayant même nombre-virgule ci-dessus en
suite de nombres. La suite des couples « V-n » pourrait
s’écrire ainsi (attention, ce ne sont plus des
« suites-virgules » mais des suites de « couples-virgules ») :
V01 = 0,
1, 10, 11, 20, 19, 100, 101, 110, 109, 110, 111, 120, 119, 120, 121, ...
V02 = 0,
2, 20, 22, 30, 28, 200, 202, 210, 208, 210, 212, 220, 218, 220, 222, ...
V03 = 0, 3,
30, 33, 40, 37, 300, 303, 310, 307, 310, 313, 320, 317, 320, 323, ...
V04 = 0,
4, 40, 44, 50, 46, 400, 404, 410, 406, 410, 414, 420, 416, 420, 424, ...
...
V11 = 1,
12, 21, 10, 91, 102, 101, 112, 111, 100, 111, 122, 121, 110, 121, 132, ...
V12 = 11,
23, 41, 29, 191, 203, 201, 213, 211, 223, 221, 209, 221, 233, 231, 219, ...
...
On pourrait définir V12
ainsi :
« Suite des couples a(nimpair)
et a(nimpair+1) ayant pour différence
|12|, laquelle se lit de part et d’autre de la virgule séparant lesdits a(nimpair) et a(nimpair+1) »
« Suites-virgules »
totales
Nous n’avons
considéré jusqu’à présent que deux façons de lier les termes consécutifs A et B
à leur « nombre-virgule » V
(lequel s’écrit, comme toujours, en concaténant le
dernier chiffre de A et le premier de B) :
A_,_B
V
- les suites S (croissantes) vérifiaient strictement
que A+V=B
- les suites Q (non croissantes) admettaient en plus
que A=V+B
Il reste les suites U (non
croissantes) admettant aussi que V=A+B, V étant alors la somme de A et B (et non leur différence, absolue ou relative). La relation entre
A, B et V est désormais totalement symétrique (mais
moins évidente à l’œil, reconnaissons-le).
De telles suites U permettent de trouver de nouveaux
prédécesseurs et successeurs à certains nombres. Lesquels sont cependant en
quantité très limitées par la nature même de V (qui
ne s’écrit toujours qu’avec deux chiffres) : il n’y a en
effet que 45 prédécesseurs et 45 successeurs nouveaux, car très peu de termes A
et B, additionnés, donnent un terme V de bon aloi. Prenons un exemple :
2 avait un seul
successeur, auparavant : c’était 24 car 2+22=24 (relation notée –virgulée–, ainsi : ...,2,24,...)
Maintenant 2
s’enrichit de deux successeurs supplémentaires, 19 et 20 :
19
/
2 - 20
\
24
En effet, 2+19=21
(branche haute) vérifie A+B=V
2+20=22 (branche du milieu) vérifie
aussi A+B=V
2+22=24 (branche du bas) vérifie
A+V=B
Le prédécesseur de 2
est toujours 44 :
19
/
44- 2 - 20
\
24
Le terme 44 vérifie
bien la troisième relation :
44=42+2 ou A=V+B
Les suites-virgules totales (SVT ou « de type U ») ne
mentionnent plus les mots « différence » ou « valeur
absolue ». Elles s’occupent uniquement des relations d’addition qu’entretiennent
deux quelconques termes consécutifs de U
avec leur nombre-virgule V (apparaissant entre eux, autour de la virgule).
Voici le tableau de
tous les prédécesseurs et successeurs des nombres de 1 à 100 (le « type U » est généré par le nouveau concept de
« suites-virgules totales ») :
|
Prédéc. |
Prédéc. |
Prédéc. |
a(n) |
Success. |
Success. |
Success. |
|
type U |
< a(n) |
> a(n) |
|
< a(n) |
> a(n) |
type U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
22 |
1 |
|
12 |
10 |
|
0 |
|
44 |
2 |
|
24 |
19
20 |
|
0 |
|
66 |
3 |
|
36 |
29
30 |
|
0 |
|
88 |
4 |
|
48 |
39
40 |
|
0 |
|
10 |
5 |
|
61 |
49
50 |
|
0 |
|
32 |
6 |
|
73 |
59
60 |
|
0 |
|
54 |
7 |
|
85 |
69
70 |
|
0 |
|
76 |
8 |
|
97 |
79
80 |
|
0 |
|
98 |
9 |
|
100 |
89
90 |
|
1 |
|
21 |
10 |
5 |
11 |
|
|
|
10 |
32 |
11 |
|
23 |
|
|
79 |
1 |
43 |
12 |
|
35 |
|
|
68 |
|
54 |
13 |
|
47 |
18 |
|
57 |
|
65 |
14 |
|
59
60 |
28 |
|
46 |
|
76 |
15 |
|
72 |
38 |
|
35 |
|
87 |
16 |
|
84 |
48 |
|
24 |
|
98 |
17 |
|
96 |
58 |
|
13 |
|
109 |
18 |
|
|
68 |
|
2 |
|
20 |
19 |
|
110 |
78 |
|
2 |
|
42 |
20 |
19 |
22 |
|
|
|
|
53 |
21 |
10 |
34 |
|
|
|
20 |
64 |
22 |
|
46 |
|
|
69 |
11 |
75 |
23 |
|
58 |
|
|
58 |
2 |
86 |
24 |
|
71 |
17 |
|
47 |
|
97 |
25 |
|
83 |
27 |
|
36 |
|
108 |
26 |
|
95 |
37 |
|
25 |
|
119 |
27 |
|
|
47 |
|
14 |
|
30 |
28 |
|
109 |
57 |
|
3 |
|
41 |
29 |
|
120 |
67 |
|
3 |
|
63 |
30 |
28 |
33 |
|
|
|
|
74 |
31 |
|
45 |
|
|
|
|
85 |
32 |
6
11 |
57 |
|
|
|
30 |
96 |
33 |
|
69
70 |
|
|
59 |
21 |
107 |
34 |
|
82 |
|
|
48 |
12 |
118 |
35 |
|
94 |
16 |
|
37 |
3 |
129 |
36 |
|
|
26 |
|
26 |
|
40 |
37 |
|
108 |
36 |
|
15 |
|
51 |
38 |
|
119 |
46 |
|
4 |
|
62 |
39 |
|
130 |
56 |
|
4 |
|
84 |
40 |
37 |
44 |
|
|
|
|
95 |
41 |
29 |
56 |
|
|
|
|
106 |
42 |
20 |
68 |
|
|
|
|
117 |
43 |
12 |
81 |
|
|
|
40 |
128 |
44 |
2 |
93 |
|
|
49 |
31 |
139 |
45 |
|
|
|
|
38 |
22 |
50 |
46 |
|
107 |
15 |
|
27 |
13 |
61 |
47 |
|
118 |
25 |
|
16 |
4 |
72 |
48 |
|
129 |
35 |
|
5 |
|
83 |
49 |
|
140 |
45 |
|
5 |
|
105 |
50 |
46 |
55 |
|
|
|
|
116 |
51 |
38 |
67 |
|
|
|
|
127 |
52 |
|
79
80 |
|
|
|
|
138 |
53 |
21 |
92 |
|
|
|
|
149 |
54 |
7
13 |
|
|
|
|
50 |
60 |
55 |
|
106 |
|
|
39 |
41 |
71 |
56 |
|
117 |
|
|
28 |
32 |
82 |
57 |
|
128 |
14 |
|
17 |
23 |
93 |
58 |
|
139 |
24 |
|
6 |
14 |
104 |
59 |
|
150 |
34 |
|
6 |
14 |
126 |
60 |
55 |
66 |
|
|
|
5 |
137 |
61 |
47 |
78 |
|
|
|
|
148 |
62 |
39 |
91 |
|
|
|
|
159 |
63 |
30 |
|
|
|
|
|
70 |
64 |
22 |
105 |
|
|
|
|
81 |
65 |
14 |
119 |
|
|
|
60 |
92 |
66 |
3 |
127 |
|
|
29 |
51 |
103 |
67 |
|
138 |
|
|
18 |
42 |
114 |
68 |
|
149 |
13 |
|
7 |
33 |
125 |
69 |
|
160 |
23 |
|
7 |
33 |
147 |
70 |
64 |
77 |
|
|
|
24 |
158 |
71 |
56 |
89
90 |
|
|
|
15 |
169 |
72 |
48 |
|
|
|
|
6 |
80 |
73 |
|
104 |
|
|
|
|
91 |
74 |
31 |
115 |
|
|
|
|
102 |
75 |
23 |
126 |
|
|
|
|
113 |
76 |
8
15 |
137 |
|
|
|
70 |
124 |
77 |
|
148 |
|
|
19 |
61 |
135 |
78 |
|
159 |
|
|
8 |
52 |
146 |
79 |
|
170 |
12 |
|
8 |
52 |
168 |
80 |
73 |
88 |
|
|
|
43 |
179 |
81 |
65 |
|
|
|
|
34 |
90 |
82 |
57 |
103 |
|
|
|
25 |
101 |
83 |
49 |
114 |
|
|
|
16 |
112 |
84 |
40 |
125 |
|
|
|
7 |
123 |
85 |
32 |
136 |
|
|
|
|
134 |
86 |
24 |
147 |
|
|
|
|
145 |
87 |
16 |
158 |
|
|
|
80 |
156 |
88 |
4 |
169 |
|
|
9 |
71 |
167 |
89 |
|
180 |
|
|
9 |
71 |
189 |
90 |
82 |
99 |
|
|
|
62 |
100 |
91 |
74 |
102 |
|
|
|
53 |
111 |
92 |
66 |
113 |
|
|
|
44 |
122 |
93 |
58 |
124 |
|
|
|
35 |
133 |
94 |
|
135 |
|
|
|
26 |
144 |
95 |
41 |
146 |
|
|
|
17 |
155 |
96 |
33 |
157 |
|
|
|
8 |
166 |
97 |
25 |
168 |
|
|
|
|
177 |
98 |
9
17 |
179 |
|
|
|
|
188 |
99 |
|
190 |
|
|
|
9 |
111 |
100 |
91 |
101 |
|
L’étude complète des SVT (suites
dont les termes admettent donc d’éventuels prédécesseurs ou successeurs de type
U) reste à
faire : bloqueurs, boucles, arbres, réseaux, pandigitalité, curiosa, etc.
__________
Pour
revenir à l’accueil du site, cliquer, là.
On demande à Oscar Wilde : Avez-vous
beaucoup travaillé aujourd’hui ?
- Oui, énormément : j’ai ajouté une virgule ce matin et je l’ai
ôtée cet après-midi !