Suites-virgules
Cette page-ci
explique (en anglais) la naissance des premières
« commas sequences » (suites-virgules). Voici S,
celle qui donna son nom au genre (c’est aussi la suite A121805 de l’OEIS) :
S =
1,12,35,94,135,186,248,331,344,387,461,475,530,535,590,595,651,667,744,791,809,908,997,1068,1149,...
Le principe de
construction est le suivant : la différence entre deux termes consécutifs
de S se lit autour de la virgule qui
les sépare.
Ainsi l’écart
séparant 35 de 94 (ci-dessus) est-il de 59 :
35,94.
Et celui séparant 94 et 135 (toujours ci-dessus) est-il de 41 : 94,135.
On appellera « nombre-virgule » V tout nombre de deux
chiffres dont le premier est le dernier de A et le deuxième le premier de B,
tel que A+V=B.
Notons que les écarts inférieurs à 10, dans S ci-dessus, commencent par un zéro ; ainsi les termes 530 et
535 ont-ils pour différence 05 (au lieu de 5, en
toute orthodoxie graphique).
On remarquera également que S
est croissante et monotone.
« Suites-virgules »
croissantes
L’écart séparant deux nombres consécutifs de S est donc toujours inférieur à 100 [car 100 s’écrit avec trois
chiffres ; or nous ne disposons que de deux chiffres pour écrire la
différence entre a(n) et a(n+1)].
On observe rapidement (comme le firent The Qurqirish
Dragon et Nicolas Graner en 2006) que certains nombres admettent
deux successeurs (14, 33, 52 et 71, par exemple), lesquels feront bifurquer éventuellement une suite en
cours :
...,14,59 (14+45=59) ou ...,14,60 (14+46=60)
...,33,69 ou ...,33,70
...,52,79 ou ...,52,80
...,71,89 ou ...,71,90
David Wilson (sur la page citée plus haut) montre que ces
nombres, lorsqu’ils sont supérieurs à 111, font partie d’une famille B bien définie :
There is also a sparse set of integers that have two successors, these form the (...) set :
B = { (10^x
+ 9)y - 100 ; x >= 2 and 2 <= y <= 9 }
or
B = {118, 227, 336, 445,
554, 663, 772, 881, 1918, 2927, 3936, 4945, 5954, 6963, 7972, 8981, 19918,
29927, 39936, 49945, 59954, 69963, 79972, 89981, ... }
On voit le motif mis en évidence par David Wilson :
111 118 227
336 445 554
663 772 881
1918 2927
3936 4945 5954
6963 7972 8981
19918 29927
39936 49945 59954
69963 79972 89981
199918 299927 399936
499945 599954 699963 799972 899981 ...
La suite-virgule S commençant par 1 et croissant le plus
lentement est celle qui ouvre cette page (on s’oblige donc, quand on tombe sur un
des nombres de la famille B, à poursuivre S par son plus petit successeur
possible).
Edwin Clark a montré en décembre 2006 que S ne se poursuit pas à l’infini :
elle s’arrête au deux millions cent trente-sept mille quatre cent
cinquante-troisième terme !
The sequence contains exactly 2137453 terms, with a(2137453)=99999945. The next
term does not exist. - Edwin Clark, Dec 11 2006
David Wilson indique qu’une famille T de nombres est constituée en effet de
« bloqueurs » de S ;
toute suite passant par l’un d’eux s’arrête instantanément (le bloqueur
ci-dessus est 99999945) :
(...) there are a
smattering of integers that have no successor, specifically, the integers in the
set T
T = { (10^x
+ 9y) - 100 : x >= 2 and 2 <= y <= 9 }
That is
T = {18, 27, 36, 45, 54,
63, 72, 81, 918, 927, 936, 945, 954, 963, 972, 981, 9918, 9927, 9936, 9945,
9954, 9963, 9972, 9981, ...}
If a comma sequence reaches
an element of T, the sequence
ends there.
Le motif bloqueur évoque
celui des nombres à deux successeurs :
18 27
36 45 54
63 72 81
918 927
936 945 954
963 972 981
9918 9927
9936 9945 9954
9963 9972 9981
99918 99927 99936 99945
99954 99963 99972 99981 ...
La parenté des motifs vient de l’étrange similitude entre les
formules définissant les familles B
et T [nombres à deux successeurs et
nombres à zéro successeur (aucun nombre n’a trois successeurs ou plus)]
Y aurait-il des suites-virgules
S qui ne bloquent jamais ? Oui,
affirme le même David Wilson, celle
qui commence avec 20, par exemple :
S2 = 20,22,46,107,178,260,262,284,327,401,...
Qui prouvera (ou infirmera) cette conjecture ?
_____
« Suites-virgules »
non croissantes
On peut fabriquer des suites Q
non croissantes [le terme a(n+1) n’est pas obligatoirement
plus grand que le terme a(n) qui le précède dans la suite G]. Il
faut alors que les « nombres-virgules » V soient égaux à la valeur absolue séparant a(n) de a(n+1). On fait
alors suivre 32 de trois termes différents, au choix :
6
/
32 - 11
\
57
On aurait alors les possibilités suivantes :
...,32,6,... ...,32,11,... et
...,32,57,...
En effet 32+25=57 ; 32-26=6 et 32-21=11. Les chiffres surlignés sont ceux qui entourent la
virgule ; concaténés ils forment la différence
absolue |a(n)-a(n+1)|
Voici quelques exemples de suites Q commençant par 10 (c’est le plus petit nombre ayant deux
successeurs) :
Q1 = 10,5,61,47,118,35,...
Q2 = 10,5,61,47,118,199,...
Q3 = 10,5,61,47,118,200,...
Q4 = 10,5,61,78,159,63,...
Q5 = 10,5,61,78,159,251,...
Q6 = 10,11,23,58,139,45,...
Q7 = 10,11,23,58,139,231,...
On pourra voir 10, le nombre initial, comme graine à
l’origine d’un arbre :
35 ...
/
47 - 118 - 199 ...
/ \
5 - 61 200 ...
/
\
10 78 - 159
- 63 ...
\ \
11 251 ...
\
23 - 58 - 139 - 45 ...
\
231 ...
Remarquons déjà que
certains parcours dans l’arbre conduisent à des boucles :
10-5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-10-...
La majorité des
nombres ont à présent plusieurs successeurs (plus
petits ou plus grands qu’eux). Le maximum semble être de trois, comme pour 32 (voir ci-dessus), ou pour 71 :
56
/
71 - 89
\
90
Ces nombres à trois
successeurs forment la suite :
3suc = 32, 71, 76, 98, 111, 118, 122, 133,
144, 155, 166, 177, 188, ...
Et les
prédécesseurs ? Tout nombre est désormais produit par un ou deux autres
nombres, au maximum – jamais par trois. Le plus petit nombre ayant deux
prédécesseurs est 11 :
10
\
32 - 11
Le plus petit nombre
au confluent de cinq autres nombres (prédécesseurs à
gauche, successeurs à droite) est 71 :
24 56
\ /
71
-89
/ \
158 90
Que deviennent les
nombres « bloqueurs » rencontrés plus haut ? Ils ne sont plus
que quatre (tous multiples de 9) : 18, 27, 36
et 45. Toute suite Q passant
par l’un d’eux sera irrémédiablement finie. Il en est ainsi des branches
contenant 3 ou 31, par exemple, lesquelles peuvent être qualifiées de
« mortes » dans un arbre (se lisant toujours de
gauche à droite) :
... 14
55 - 106 ...
\
/
... 70 115 ...
... 126 - 60 127 ... \ /
\
/
64 74 - 31 - 45 [fin]
66 - 3 - 36 [fin] \ /
/ ... 98 - 9 91
75 ...
... 53 - 92
\ /
\ /
/
\ ...
111 - 100 102
... 111
113 ... / \
... 133 123 ...
Un réseau infini se
construit rapidement, sur les modèles arborescents ci-dessus, où chaque nombre
est lié à un, deux, trois, quatre ou cinq autres. Parcourir ce réseau est
passionnant, on y découvre par exemple plusieurs boucles (comme celle du 10 vue plus
haut), dont la plus courte, semble-t-il, ne contient que quatre
éléments : 90-99-190-189-(90).
Boucles
Voici, pour les
nombres 1 à 100, les boucles les plus courtes (travail
effectué à la main : améliorations possibles ?).
Plusieurs chemins de longueur équivalente sont parfois possibles (celui surligné de jaune est celui qui « consomme » le moins de
chiffres ou celui qui utilise les
nombres les moins élevés, cf. 11) :
1-12-35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-(1)
2-24-71-90-82-57-128-44-(2)
3-36]
4-48-129-221-233-265-318-236-175-227-156-88-(4)
5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-10-(5)
6-73-104-59-150-149-54-7-85-32-(6)
7-85-136-197-126-60-55-106-42-68-149-54-(7)
8-97-25-83-49 -140-141-152-173-205-154-113-76-(8)
9-100-91-102-75-126-187-116-177-98-(9)
10-5-61-47-118-199-108-189-90-82-103-67-138-53-21-(10)
11-23-58-139-231-219-128-44 -2 -24
-71 -90 -82 -103-67-138-53-21-10-(11)
11-23-58-139-231-243-211-223-192-214-256-195-144-103-67-138-53-21-10-(11)
12-35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-(12)
13-47-118-200-202-181-170-171-160-161-150-149-54-(13)
14-60-66-127-198-117-43-81-65-(14)
15-72-48-129-221-233-201-213-182-204-163-132-111-92-113-76-(15)
16-84-40-44-93-124-165-114-155-104-145-87-(16)
17-96-33-70-64-22-46-107-178-260-258-177-98-(17)
18]
19-110-111-100-91-102-75-126-60-55-106-42-20-(19)
20-19-110-111-100-91-102-75-126-60-55-106-42-(20)
21-34-82-103-67-138-53-(21)
22-46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-(22)
23-58-139-231-219-128-44-93-124-77-148-62-91-102-75-(23)
24-71-90-82-103-134-86-(24)
25-83-49-140-141-152-173-205-154-113-76-8-97-(25)
26-95-146-208-290-288-206-145-87 -16 -84 -40 -37 -108-(26)
26-95-146-79
-170-169-72 -48 -129-221-209-118-199-108-(26)
27]
28-109-201-190-191-180-181-170-171-160-159-63-30-(28)
29-120-121-110-111-92-113-144-95-41-(29)
30-33-69-160-159-63-(30)
31-45]
32-6-73-104-59-150-149-54-7-85-(32)
33-69-160-159-63-30-(33)
34-82-103-67-138-53-21-(34)
35-94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-12-(35)
36]
37-108-26-95-146-208-290-288-206-145-87-16-84-40-(37)
38-119-211-223-255-308-226-288-206-268-187-116-51-(38)
39-130-131-142-163-194-153-122-93-124-77-148-62-(39)
40-44-93-124-165-114-155-104-145-87-16-84-(40)
41-29-120-121-110-111-92-113-144-95-(41)
42-68-149-54-7-85-136-197-126-60-55-106-(42)
43-81-65-14-60-66-127-198-117-(43)
44-93-58-139-231-219-128-(44)
45]
46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-22-(46)
47-118-200-202-181-170-171-160-161-150-149-54-13-(47)
48-129-221-233-265-318-236-175-227-156-88-4-(48)
49-140-141-152-173-205-154-113-76-8-97-25-83-(49)
50-46-107-34-82-103-134-86-147-70-64-105-(50)
51-38-119-211-223-255-308-226-288-206-268-187-116-(51)
52-79-170-171-182-204-163-132-111-92-66-127-(52)
53-21-34-82-103-67-138-(53)
54-7-85-32-6-73-104-59-150-149-(54)
55-106-167-89-180-179-81-65-14-60-(55)
56-117-188-99-190-189-90-22-57-128-44-2-24-71-(56)
57-128-44-2-24-71-90-82-(57)
58-139-231-219-128-44-93-(58)
59-150-149-54-7-85-32-6-73-104-(59)
60-66-127-198-117-43-81-65-14-(60)
61-78-159-63-30-33-70-64-105-156-218-137-(61)
62-91-74-115-166-105-50-55-106-167-239-148-(62)
63-30-33-69-160-159-(63)
64-105-50-46-107-34-82-103-134-86-147-70-(64)
65-116-177-106-167-89-180-179-81-(65)
66-127-198-117-43-81-65-14-60-(66)
67-138-53-21-34-82-103-(67)
68-149-54-7-85-136-197-126-60-55-106-42-(68)
69-160-159-63-30-33-(69)
70-64-105-50-46-107-34-82-103-134-86-147-(70)
71-90-82-57-128-44-2-24-(71)
72-48-129-221-209-118-199-108-26-95-146-79-170-169-(72)
73-104-59-150-149-54-7-85-32-6-(73)
74-115-166-105-50-55-106-167-239-148-62-91-(74)
75-126-187-116-177-98-9-100-91-102-(75)
76-8-97-25-83-49-140-141-152-173-205-154-113-(76)
77-148-62-91-102-123-154-113-144-103-134-175-124-(77)
78-159-63-30-33-70-64-105-156-218-137-61-(78)
79-170-171-182-204-163-132-111-92-66-127-52-(79)
80-73-104-145-87 -16 -84 -125-176-115-166-97 -168-(80)
80-73-104-145-87
-158-71 -89 -180-179-271-259-168-(80)
80-73-104-145-196-135-186-125-176-115-166-97
-168-(80)
80-88-169-261-249-158-71
-89 -180-179-271-259-168-(80)
80-88-169-261-273-241-229-138-53
-92 -66 -127-52 -(80)
81-65-14-60-66-127-198-117-43-(81)
82-103-67-138-53-21-34-(82)
83-114-155-96-157-229-138-53-92-113-76-8-97-25-(83)
84-40 -44 -93 -124-165-114-155-104-145-87-16-(84)
84-125-176-238-321-308-226-164-206-145-87-16-(84)
85-32-6-73-104-59-150-149-54-7-(85)
86-24-71-90-82-103-134-(86)
87-16-84-40-44-93-124-165-114-155-104-145-(87)
88-169-261-249-342-319-227-156-(88)
89-180-179-81-65-116-177-106-167-(89)
90-99-190-189-(90)
91-102-75-126-187-116-177-98-9-100-(91)
92-113-144-103-67-138-53-(92) <—— boucle pandigitale
93-58-139-231-219-128-44-(93)
94-135-78-159-63-30-33-70-64-22-1-12-35-(94)
95-41-29-120-121-110-111-92-113-144-(95)
96-157-229-138-53-92-113-76-8-97-25-83-114-155-(96)
97-25 -83-49 -140-141-152-173-205-154-113-76 -8 -(97)
97-168-80-73
-104-145-87 -16 -84 -125-176-115-166-(97)
97-168-80-73
-104-145-196-135-186-125-176-115-166-(97)
98-9-100-91-102-75-126-187-116-177-(98)
99-190-189-90-(99)
100-91-102-75-126-187-116-177-98-9-(100)
Le réseau, évoqué
plus haut, relie tous les nombres naturels et présente plusieurs zones très
structurées. On peut y avancer (de gauche à droite, toujours) par des
obliques se coupant à angle droit, rappelant le dessin en « grille »
de certaines villes américaines :
142 ↑
112↑
On voit ici que les
chemins reliant par exemple 142 à 112 (flèches), sont
nombreux ; il suffit de monter ou de descendre vers un losange voisin,
puis de répéter l’opération (quand on monte on ajoute le
« nombre-virgule », quand on descend on le retranche ; ainsi
ira-t-on de 142 à 163 en ajoutant 21 et de
142 à 121 en retranchant ce
nombre ; tant 163 que 121 permettent de retomber sur 132 et de poursuivre
sa route. Répétons qu’on circule sur la « grille » de gauche à
droite, jamais de droite à gauche ; pour « boucler » il faut
trouver des « passages secrets » ou des « raccourcis »
permettant de « remonter » la grille — dont on n’aperçoit qu’un échantillon
ici).