Égalités arabo-romaines
Certaines égalités sont
vraies de plusieurs manières. On a vu ici
des égalités arithmétiques dont les membres sont aussi anagrammes l’un de
l’autre (par les lettres qui écrivent leurs nombres). De même pour cette
égalité « chimique ».
Je me suis penché
pendant les vacances de juillet (2003) sur les égalités doubles arabo-romaines
du genre :
2 + 8 = 10
Cette égalité est
vraie en chiffres arabes... mais aussi pour les chiffres romains contenus dans
l’écriture des nombres de chaque membre (les numérologues appellent gématrie cette façon
de voir des nombres dans des mots — il s’agirait ici de gématrie des nombres eux-mêmes) :
DeuX + huIt
= DIX (soit 500+10+1=500+1+10 ou 511=511)
Voici d’autres
égalités simples (et non triviales —
nous nous interdisons les égalités du genre 10 + 7 = 17 ou
0 + x = x) ; on ne considère que l’addition :
un + quInze = seIze
(soit 1=1)
quatre + sept = onze
(soit 0=0)
sept + sept =
quatorze (soit 0=0)
sept + huIt = quInze
(soit 1=1)
sIX + quatorze + quarante = soIXante (soit 11=11)
troIs + onze = treIze
+ un (soit 1=1)
Douze + sIX = DIX-sept
+ un (soit 511=511)
VIngt + VIngt-neuf = quarante-sIX + troIs
(soit 6+6=11+1)
Cent-VIngt + VIngt
= trente + CInquante + soIXante (soit 106+6=101+11)
...
Il y a beaucoup
d’autres égalités additives de ce type, de plus en plus compliquées. Quelle
serait la plus simple d’entre elles montrant tous les chiffres romains (I V X L C D M) ? « Simple » veut dire
« utilisant le plus petit nombre de signes typographiques ».
Voici l’état de la
recherche (il y a peut-être
moyen de faire mieux — nous y reviendrons aux vacances de Toussaint !) :
1026 = 999
+ 15 + 12 (14
signes)
Cette égalité
« panromaine » est doublement vraie :
- arithmétiquement,
comme on le vérifiera, et
- gématriquement.
En effet :
MILLe VIngt-sIX
<-> M+I+L+L+V+I+I+X = 1118
et
neuf Cent quatre-VIngt-DIX-neuf <-> C+V+I+D+I+X = 617
quInze <-> I =
1
Douze <-> D = 500
---
1118
Tous les chiffres romains
(I V X L C D M) sont
bien présents.
Quel est le nombre panromain
le plus proche de zéro ? Peut-être celui-ci :
-2,5 (qu’on lira « MoIns DeuX VIrguLe CInq »)
Et si l’on veut un
entier positif, est-ce celui-ci ?
1122 (« MILLe Cent VIngt-DeuX »)
Le panromain
graphiquement le plus long (d’après le Quid 2000) serait : MMMMDCCCCLXXXVIII (4988). [On
n’utilise pas les barres horizontales suscrites ni les « bordures » qui
multiplient parfois un nombre par 1000 ou 100 000,
comme indiqué ici.]
On sait (voir là) que les seuls entiers positifs qui valent
leur propre compte romain sont 100, 2227 et 2228 (zéro
est hors catégorie).
Cela soulève la
question suivante : et si, oubliant le critère de simplicité, on se
tournait vers l’égalité absolue des totaux, arithmétique et romain ?
L’état des calculs en
est (provisoirement ?)
là :
2228 = 1949 + 49 + 44
+ 43 + 42 + 40 + 32 + 29
... égalité
lourdingue où chaque membre vaut 2228, que l’on compte en arabe ou en
chiffres romains (lesquels, rappelons-le, sont contenus dans l’écriture
française des nombres en jeu ci-dessus).
Si l’on accepte que 1200
puisse être lu « douze cent » on trouvera une égalité beaucoup plus
compacte :
2228 = 1002 + 1226 (elle a fière allure avec ses 14 signes, non ?)
Les sept lettres
romaines y figurent bien, comme dans le premier nombre, par exemple : DeuX MILLe DeuX Cent
VIngt-HUIT.
Autre chose :
peut-on dresser une table des nombres entiers positifs sous forme d’égalité
romaine additive ? Il y aura de nombreux trous, semble-t-il, pour peu que
l’on s’oblige toujours à éviter les solutions triviales (écrites ici sous la forme x = zéro + x) :
[00] zéro = zéro
+ zéro (0=0)
[01] un = zéro
+ un (0=0)
[02] DeuX
= zéro + DeuX (510=510)
[03] troIs = zéro + troIs (1=1)
[04] quatre = un + un
+ un + un (ce type de
construction est peu économique ; nous essayerons chaque fois de faire le plus
compact possible)
[05] CInq = zéro + CInq (101=101)
[06] sIX = zéro + sIX (11=11)
[07] sept = un + un +
un + quatre (0=0)
[08] huIt = un + troIs
+ quatre (1=1)
[09] neuf = un +
quatre + quatre (ou un +
un + sept) (0=0)
[10] DIX = DeuX + huIt
(l’exemple qui ouvre cette
page)
[11] onze = quatre +
sept (0=0)
[12] Douze = zéro + Douze (500=500)
[13] treIze = un + quatre + huIt (1=1)
[14] quatorze = sept
+ sept (0=0)
[15] quInze = sept + huIt
(1=1)
[16] seIze = un + quInze
(1=1)
[17] DIX-sept = DeuX + quInze
(511=511)
[18] DIX-huIt = DeuX + troIs
+ treIze (512=512)
[19] DIX-neuf = un + DeuX + seIze
(ou un + sIX + Douze)
(511=511)
[20] VIngt = un + un + [troIs + troIs +...(6x)] (6=6)
[21] VIngt et un = un + un + un + [troIs + troIs
+...(6x)] (6=6)
[22] VIngt-DeuX = zéro + DeuX + VIngt (516=516)
[23] VIngt-troIs
= un + un + [troIs + troIs +...(7x)] (7=7)
[24] VIngt-quatre = un + huIt + [troIs + troIs +...(5x)] (6=6)
[25] VIngt-CInq
= zéro + CInq + VIngt (107=107)
[26] VIngt-sIX
= zéro + sIX + VIngt (17=17)
[27] VIngt-sept = [un + un... (4x)] + huIt +
[troIs + troIs +...(5x)] (6=6)
[28] VIngt-huIt
= un + un + [troIs + troIs +...(6x)] + huIt (7=7)
[29] VIngt-neuf = un + [troIs + troIs +...(4x)] + huIt + huIt (6=6)
[30] trente = 1 + 1 +
14 + 14 (nous adoptons une
écriture plus concise) (0=0)
[31] trente et un = 9
+ 11 + 11 (0=0)
[32] trente-DeuX
= zéro + DeuX + trente (510=510)
[33] trente-troIs = 4 + 14 + 15 (1=1)
[34] trente-quatre =
9 + 11 + 14 (0=0)
[35] trente-CInq = zéro + CInq + trente (101=101)
[36] trente-sIX = un + [troIs
+ troIs +...(5x)] + VIngt (11=11)
[37] trente-sept = 9
+ 14 + 14 (0=0)
[38] trente-huIt = 11 + 11 + 16 (1=1)
[39] trente-neuf = 11
+ 14 + 14 (0=0)
[40] quarante = 9 +
31 (0=0)
[41] quarante et un =
4 + 37 (ou 7 + 34
ou 11 + 30) (0=0)
[42] quarante-DeuX
= [troIs + troIs +...(10x)] + Douze (510=510)
[43] quarante-troIs = 1 + 4 + 38
(ou 1 + 8 + 34) (1=1)
[44] quarante-quatre
= 7 + 37 (ou 14 +
30) (0=0)
[45] quarante-CInq = zéro + CInq + quarante (101=101)
[46] quarante-sIX = 1 + 3
+ 3 + 3
+ 8 + 28
(11=11)
[47] quarante-sept =
4 + 9 + 34 (plusieurs solutions) (0=0)
[48] quarante-huIt = 1 + 3 + 44 (plusieurs solutions) (1=1)
[49] quarante-neuf =
1 + 4 + 44 (plusieurs solutions) (0=0)
[50] CInquante = 1 + 5 + 44 (plusieurs solutions) (101=101)
Le reste sera
complété plus tard :
[51] CInquante et un = ...
[52] CInquante-DeuX =
[53] CInquante-troIs
=
[54] CInquante-quatre =
[55] CInquante-CInq
=
[56] CInquante-sIX
=
[57] CInquante-sept =
[58] CInquante-huIt
=
[59] CInquante-neuf =
[60] soIXante =
[61] soIXante et un =
[62] soIXante-DeuX =
[63] soIXante-troIs
=
[64] soIXante-quatre =
[65] soIXante-CInq
=
[66] soIXante-sIX
=
[67] soIXante-sept =
[68] soIXante-huIt
=
[69] soIXante-neuf =
[70] soIXante-DIX
=
[71] soIXante et onze =
[72] soIXante- Douze
=
[73] soIXante-treIze
=
[74] soIXante-quatorze =
[75] soIXante-quInze
=
[76] soIXante-seIze
=
[77] soIXante-DIX-sept
=
[78] soIXante-DIX-huIt =
[79] soIXante-DIX-neuf
=
[80] quatre-VIngt =
[81] quatre-VIngt un =
[82] quatre-VIngt-DeuX =
[83] quatre-VIngt-troIs
=
[84] quatre-VIngt-quatre =
[85] quatre-VIngt-CInq
=
[86] quatre-VIngt-sIX
=
[87] quatre-VIngt-sept =
[88] quatre-VIngt-huIt
=
[89] quatre-VIngt-neuf =
[90] quatre-VIngt-DIX
=
[91] quatre-VIngt-onze =
[92] quatre-VIngt- Douze
=
[93] quatre-VIngt-treIze
=
[94] quatre-VIngt-quatorze =
[95] quatre-VIngt-quInze
=
[96] quatre-VIngt-seIze
=
[97] quatre-VIngt-DIX-sept
=
[98] quatre-VIngt-DIX-huIt =
[99] quatre-VIngt-DIX-neuf
=
[100] Cent =
...
Y aurait-t-il encore
des cases impossibles à remplir ci-dessus ? La règle de non-trivialité
veut qu’un même mot (comme vingt, ou six, ou cinq) ne soit
jamais employé deux fois dans une égalité — même sous forme composée (vingt
et quatre-vingt, par exemple ; en revanche cinq et cinquante
sont licites).
Jusqu’à présent nous
n’avons considéré que l’addition : qu’en serait-t-il avec la soustraction ?
Fera-t-on plus économique dans certains domaines ?
Quid d’une contrainte
supplémentaire, celle de panchiffre1 (celle de panromain
a été utilisée) ?
Et si l’on écrivait
les signes en toutes lettres ? « MoIns » vaudrait 1001, « pLus » 50, « foIs » 1 et « DIVIsé par » 507 (seul le signe = resterait
inchangé).
Nicolas Graner propose une notion élargie de non-trivialité :
« Une
égalité est super non triviale si ses deux membres ne contiennent pas le
même ensemble de chiffres romains, et hyper non triviale si ces deux
ensembles sont disjoints ».
Quels nouveaux
résultats cela amène-t-il ?
Autant de questions
ouvertes qu’il nous brûle de vous voir résoudre (à notre place, avant la Toussaint 2003 !)
__________
1 On dit aussi « pandigital ».
Une liste des 3999
premiers nombres écrits en chiffres romains est ici.
Pour revenir à la
page d’accueil du site, cliquer là.
Pour nous communiquer
des résultats, ici.
[Ce lien-là provoque une erreur 404]
[Les vacances de Toussaint sont passées, je n’ai pas
avancé... Note du 3 mai 2004]