______________________________________

51 + 11 – 6 = 101 + 15 – 60

______________________________________

(56 = 56) .

Cette égalité est doublement vraie : les trois nombres de gauche et les trois nombres de droite s’écrivent avec les mêmes lettres :

CINQUANTE ET UN + ONZE – SIX = CENT UN + QUINZE – SOIXANTE

A C EEE II NNN O Q S TT UU X Z = A C EEE II NNN O Q S TT UU X Z

[On aurait pu écrire aussi :

« CINQUANTE ET UN plus ONZE moins SIX = CENT UN plus QUINZE moins SOIXANTE »]

L’histoire de cette formule commence par une question récurrente sur la liste « Oulipo » :

> ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE

> Qui trouvera un résultat équivalent en français ?

Tout avait démarré, semble-t-il, le 17 Novembre 1998 à 10:22:06 +0100 par un message de Nicolas Graner :

> Voici de superbes anagrammes anglaises que j’ai reçues de

> quelqu’un qui les a reçues de quelqu’un qui les a reçues

> d’un technicien de l’université de Leeds (UK). Je n’en sais

> pas plus sur leur origine :-)
> J’espère surtout que celle sur « eleven plus two » donnera

> des idées à nos anagrammologues francophones...

Nicolas

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> Dormitory = Dirty Room
> Evangelist = Evil’s Agent
> Desperation = A Rope Ends It
> The Morse Code = Here Come Dots
[...]

> Eleven plus two = Twelve plus one

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Quand ce sujet revint sur la liste, quelques années plus tard, Nicolas ajouta qu’il fallait évidemment exclure les « propositions triviales du genre : vingt + TROIS = vingt-trois ».

Je pensais à tout cela, lundi dernier (17 mars 2003). Je me demandais pourquoi Nicolas avait pris l’exemple de 23 et pas de 22. Ou de 21. Je souris : VINGT ET UN, à l’évidence, ne convenait pas puisque distinct de VINGT + UN par le digramme ET... Puis j’eus une illumination : au fond, il y avait là une sorte d’« équation » permettant de remplacer le digramme ET par une expression « alphanumérique » simple :

(a) ET = 21 – 20 – 1

De même je savais, et nous savons tous, que QUATORZE « contient » QUATRE. Cela conduisait à une autre équation :

(b) OZ = 14 – 4

Idem pour QUARANTE, lequel englobe QUATRE, donc :

(c) AN = 40 – 4

Un début de table de digrammes « alphanumériques » se mettait en place. Si l’on pouvait écrire, à l’aide de lettres ainsi mises en évidence, un nombre non-utilisé encore dans les équations, l’affaire serait faite !

J’ai donc commencé une liste de nombres « élémentaires » qui en contiennent d’autres :

— NEUF contient UN (malheureusement NEUF contient aussi F, lequel F n’est présent dans aucun autre nombre élémentaire ; impossible à utiliser donc. Pareil pour HUIT qui contient un H unique. Et SEPT qui contient le seul P).

— QUINZE contient UN, ce qui conduit à l’équation :

(d) QIZE = 15 – 1

— QUARANTE contient QUATRE, on l’a vu, mais aussi UN :

(e) QARATE = 40 – 1

— CINQUANTE contient CINQ, UN et CENT :

(f) ATE = 50 – 5 – 1

(g) AQI = 50 – 100 – 1

— SOIXANTE contient SIX :

(h) OANTE = 60 – 6

Les autres nombres ne produisent rien. En revanche un examen approfondi des lettres que partagent certains d’entre eux permet de trouver des choses comme :

DIX + SEIZE + TR = TREIZE + SIX + D qui peut s’écrire :

(i) TR – D = 13 – 6 – 10 – 16

Ou comme :

ONZE + R = ZÉRO + N soit :

(j) R – N = 0 – 11

Ou encore :

DOUZE + X = DEUX + ZO soit :

(k) X – ZO = 12 - 2

etc.

On parvient assez vite à isoler des lettres individuelles. Par exemple en faisant (f) – (a) on trouve (k) :

(f) ATE = 50 – 5 – 1

(a) ET = 21 – 20 – 1

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(k) A = 50 – 5 – 1 – 21 + 20 + 1

= 50 – 5 – 21 + 20

De même en faisant (h) – (a) - (c) on trouve (m) :

(h) OANTE = 60 – 6

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(a) ET = 21 – 20 – 1

(c) AN = 40 – 4

(m) O = 60 – 6 – 21 + 20 + 1 – 40 + 4

En faisant (b) + (k) on trouve (n) :

(b) OZ = 14 – 4

(k) X – ZO = 12 – 2

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X = 14 + 12 – 4 – 2

De proche en proche, et en veillant toujours à ne pas tourner en rond avec les équations, on finira par trouver des solutions du type de celle qui ouvre cette page...

Attention, exhiber deux groupes de nombres anagrammes l’un de l’autre ne suffit pas ! Il faut encore les combiner subtilement à l’aide de signes plus et moins pour que les comptes arithmétiques tournent...

__________

Voici, par exemple, et tous tâtonnements disparus, la marche suivie pour trouver le résultat plus haut :

QUINZE + O = ONZE + QUI

[ajout de CENT] :

CENT + 15 + O = 11 + QUI + CENT

[ajout de AN] :

100 + 15 + O + AN = 11 + QUI + CENT + AN

[mélange] :

100 + 15 + O + AN = 11 + CINQUANTE

[ajout de QUATRE] :

100 + 15 + O + AN + QUATRE = 11 + 50 + QUATRE

[mélange] :

100 + 15 + O + QUARANTE = 11 + 50 + 4

[utilisation de l’équation (m) pour O] :

100 + 15 + [60 – 6 – 21 + 20 + 1 – 40 + 4] + 40 = 11 + 50 + 4

[suppression des crochets et simplification des termes soulignés] :

100 + 15 + 60 – 6 – 21 + 20 + 1 = 11 + 50

[passage des nombres négatifs de l’autre côté du signe égale] :

100 + 15 + 60 + 20 + 1 = 6 + 21 + 11 + 50

[transformation (à droite) de 21 + 50 en 20 + 51 et simplification des termes soulignés] :

100 + 15 + 60 + 1 = 6 + 11 + 51

[compactage et nouvel ordre des termes] :

101 + 15 + 60 = 51 + 11 + 6

Muni de deux signes moins, c’est le résultat déjà signalé.

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Je voulais, il y a quelques jours, trouver une formule qui ne comportât pas de signe moins, à l’instar de l’anglo-saxonne 11 + 2 = 12 + 1. Et qui satisfît aussi à un autre critère, surnommé « le graal » par Nicolas Graner¹ : que les chiffres à gauche du signe égale soient les mêmes qu’à droite — comme dans la formule ci-dessus où l’on compte deux 1 et un 2 dans chaque membre de l’égalité : après l’anagramme des lettres, l’anagramme des chiffres ! (En plus de la vérité arithmétique).

La première difficulté fut d’obtenir des totaux identiques dans chaque membre sans employer de signe moins. L’écart à combler était de 108 — la partie gauche valant 176 et la droite 68. Comment faire ?

L’astuce consista à utiliser des nombres « composés » (par opposition aux nombres élémentaires rencontrés plus haut). En « dé-composant » de tels nombres on approche du but : 220 et 122 par exemple, utilisent les mêmes mots et les mêmes lettres, pourtant leur différence vaut 98 : DEUX, CENT, VINGT <——> CENT, VINGT, DEUX.

En combinant avec patience de tels nombres, on finit par trouver l’un des graals suivants (l’égalité d’origine est en jaune) :

____________________________

2101 + 915 + 360 + 302 + 2

=

3051 + 211 + 206 + 203 + 9

____________________________

Cette expression satisfait donc à quatre critères :

a) elle est arithmétiquement vérifiée (3680 = 3680) ;

b) il n’y a que des signes plus ;

c) l’ensemble des chiffres utilisés est le même à gauche et à droite ;

d) l’ensemble des lettres utilisées pour écrire les nombres est le même à gauche et à droite ;

... mais le résultat est nettement moins sexy que l’anglo-saxon « ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE »... That’s life !

Y a-t-il moyen de faire mieux, plus compact, plus élégant ? Who knows !²

__________

¹ Merci à lui pour ses archives informatiques, ses encouragements et ses listes infinies de nombres bizarres !

² En attendant, voici une manière de présenter le résultat ci-dessus qui vérifie

un 5^e critère : le trouverez vous ? Solution sous le signe égale...

915 + 1 + 160 + 2300 + 2 + 302 = 203 + 200 + 3206 + 11 + 51 + 9

L’égalité anagrammatique ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE est attribuée par le site anagrammy.com à un certain Melvin O. Wellman (1948).

En espagnol ? UNO + CATORCE = CUATRO + ONCE

TRES + DOCE = DOS + TRECE

Voir là d’autres solutions anglaises (folles !) trouvées par Richard Grantham.

Et ici un courrier intéressant de Jean-Charles Meyrignac.

Et là un délire arabo-romain du même acabit !

Et ici de l’autoréférence dans l’irrationnel !

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