[Compilation à partir d’une autre série de messages privés reçus fin avril 2008]

Jean-Marc Falcoz :

http://membres.lycos.fr/vargolettres

Quelques voyages de nombres

Nous avons vu ici que Jean-Marc Falcoz avait trouvé une manière originale de faire voyager les mots et les textes. Il y a moyen d’envoyer promener les nombres aussi, en leur appliquant la rose des vents suivante — laquelle évoque une horloge à 10 chiffres :

0

9 * 1

* *

8 * * 2

.

7 * * 3

* *

6 * 4

5

Pour qu’il puisse voyager, un nombre ne sera vu que comme une suite de chiffres — et chaque chiffre comme une injonction à se déplacer d’_un pas-unité_ dans une direction précise :

- si vous rencontrez le chiffre 0, visez le nord ;

- si vous rencontrez le chiffre 1, visez un angle de 36° à droite par rapport au nord ;

- si vous rencontrez le chiffre 2, visez un angle de 72° à droite par rapport au nord ;

- si vous rencontrez le chiffre 3, visez un angle de 72° à gauche par rapport au sud ;

- si vous rencontrez le chiffre 4, visez un angle de 36° à gauche par rapport au sud ;

- si vous rencontrez le chiffre 5, visez le sud ;

- si vous rencontrez le chiffre 6, visez un angle de 36° à droite par rapport au sud ;

- si vous rencontrez le chiffre 7, visez un angle de 72° à droite par rapport au sud ;

- si vous rencontrez le chiffre 8, visez un angle de 72° à gauche par rapport au nord ;

- si vous rencontrez le chiffre 9, visez un angle de 36° à gauche par rapport au nord ;

Tout nombre conduit donc à un seul déplacement final, déterminé par la succession des déplacements partiels que dictent ses chiffres.

Si l’on part du centre de l’horloge, par exemple, on constate que « 50 » demande de faire un premier pas vers le sud (instruction 5), puis un second pas vers le nord (instruction 0) ; résultat, on revient au centre de l’horloge ! (Et il en sera de même pour les nombres 16, 27, 38, 49, 61, 72, 83, 94, 1166, 5005, etc., qui ramènent toujours au centre de l’horloge, comme « 50 »).

0

9 * 1

* *

8 * * 2

. +

23 & 32

7 * * 3

* *

6 * 4

5

Les nombres 23 et 32 permettent de sortir de l’horloge ; ils conduisent à la petite croix jaune — exactement à l’est du centre (les nombres 1632 et 5023 font pareil, bien sûr, ainsi qu’une infinité d’autres).

Quelques questions :

1) Comment se colonise le plan, quand on marque successivement les points de chute des nombres 0, 1, 2, 3, 4, ... jusqu’à 100 000 (par ex.) ? Si le plan orthonormé était d’un noir profond, tel un ciel d’été sans lune, l’apparition successive de chaque point remplirait d’étoiles cette voûte d’ébène ! Et des points frappés par plusieurs nombres verraient leur éclat augmenter (et leur magnitude diminuer, merci Alexandre W. !)

2) Quelle serait la suite des nombres qui viennent occuper un point libre du plan (non encore occupé par un autre nombre) ? [Cette suite accepterait 16 en son sein – mais pas 27, 38, 49, etc. qui reviennent frapper le point (0,0) comme nous l’avons vu, ce qui est interdit ; de même pour 32 qui s’effacerait au seul profit de 23. Jean-Marc a calculé cette suite (ainsi que la suite complémentaire des nombres qui n’en font pas partie), le résultat est sur cette page].

3) Quel serait le chemin dessiné par Pi ? Par e ? Par racine carrée de 2 ? (vus comme une suite de décimales en base 10 – donc comme une suite de déplacements de même pas dans 10 directions possibles)

Jean-Marc a répondu aussi à cette dernière question en dessinant le chemin des 100 000 premières décimales de ces constantes :

Pi :

e

\____

rac2

\___

Voici le chemin pris par la fraction 1/41787 ; la périodicité de ses décimales explique son parcours régulier :

La carte des 300 000 premières décimales de Pi (à gauche, ci-dessous), comparée à celle de ses 100 000 premières (à droite) montre des zones communes (en rouge) ; ces zones seront-elles toujours visibles quand le calcul se poursuivra ? (au-delà du million de décimales, par ex.)

Le voyage des 300 000 premières décimales de Pi est visible de manière encore plus détaillée ici.

__________

Merci Jean-Marc !

D’autres voyages encore ?

________________________________________

Retour à la page d’accueil du site, ici.