Miss Numbers
J’ai envoyé le
message suivant à la liste SeqFan le 18 février dernier (traduction française infra) :
> Hello SeqFans,
35,32,27,24,22,20,13,11,7,5,3,1,1,0
35 hits 0 when successively subtracting its
own "digit-trail":
a b c
35-3=32
32-5=27
27-3=24
24-2=22
22-2=20
20-7=13
13-2=11
11-4= 7
7-2= 5
5-2= 3
3-2= 1
1-0= 1
1-1= 0 <- hit
You’ll get column b reading column a digit by
digit.
1) What would be the sequence S of such
"hitting-zero" integers? I guess S starts like this:
S = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,19,20,22,...
2) Given an integer I, is it possible to say
if I is part of S without computing every term of its "digit-trail"?
Best,
É.
____________
[En français]
Pour qu’un
entier comme 35 génère une suite de nombres tendant vers zéro, il suffit de soustraire à 35 le premier chiffre
de la suite (3), puis au nombre
obtenu le deuxième chiffre de la suite (5), puis au nombre obtenu le troisième chiffre de la suite
(3), etc. On s’arrête quand
la soustraction est
impossible (le résultat serait
négatif). En voici l’illustration (la colonne “b” ci-dessous est la colonne ”a”
lue chiffre par chiffre) :
a b c
35-3=32
32-5=27
27-3=24
24-2=22
22-2=20
20-7=13
13-2=11
11-4= 7
7-2= 5
5-2= 3
3-2= 1
1-0= 1
1-1= 0
On voit que la suite issue de 35 passe exactement par zéro. Quels sont les autres entiers présentant cette particularité ?
Voici la réponse de Hans Havermann parue
sur la liste SeqFans (j’avais reçu en privé la même liste calculée par Maximilian Hasler quelques
heures auparavant) :
{0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20, 22, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 43, 44, 46, 52, 53,
59, 62, 64, 65, 68, 74, 77, 79, 82, 83, 88, 100, 105, 119, 121, 147, 150, 154, 159, 161, 162,
164, 178, 183, 186, 187, 192, 193, 196,
198, 208, 209, 214, 219, 220, 231, 233, 238, 243, 244, 257, 269, 278, 280, 290, 294, 298, 305, 313,
314, 315, 318, 321, 326, 331, 336, 341,
342, 350, 354, 358, 360, 366, 367, 368, 372, 373, 374, 377, 379, 386, 394, 396, 402, 403, 416, 424,
426, 427, 429, 430, 431, 443, 445, 448,
452, 456, 457, 465, 466, 468, 469, 471, 472, 474, 475, 484, 486, 487, 494, 497, 498, 503, 509, 510,
512, 518, 522, 523, 526, 528, 529, 536,
543, 546, 550, 555, 558, 568, 571, 582, 598, 600, 602, 604, 608, 609, 611, 615, 616, 620, 627, 629,
631, 636, 642, 650, 651, 656, 657, 658,
659, 666, 668, 672, 674, 680, 683,
684, 688, 689, 691, 696, 706, 707, 712,
715, 718, 740, 747, 754, 756, 757, 762, 763, 775, 785, 788, 794, 795, 803, 804, 809, 816, 818,
819, 824, 831, 840, 844, 854, 858, 863,
872, 874, 877, 889, 892, 899, 905, 906, 911, 915, 918, 921, 922, 933, 934, 935, 942, 944, 948, 954,
956, 957, 960, 964, 966, 971, 976, 979,
980, 994, 1006, 1008, 1009, 1010, 1012, 1018, 1020, 1028, 1033, 1043, 1060, 1080, 1086, 1089,
1098, 1107, 1121, 1123, 1132, 1133,
1143, 1145, 1153, 1160, 1165, 1169, 1170, 1171, 1174, 1175, 1181, 1186, 1191, 1195, 1196, 1197,
1199, 1200, 1204, 1206, 1215, 1218,
1235, 1237, 1241, 1245, 1252, 1257, 1265, 1268, 1271, 1282, 1285, 1289, 1297, 1306, 1310, 1332,
1341, 1343, 1354, 1355, 1356, 1359,
1365, 1371, 1387, 1392, 1400, 1401, 1404, 1409, 1413, 1421, 1422, 1424, 1431, 1433, 1436, 1442,
1445, 1447, 1454, 1456, 1459, 1462,
1464, 1466, 1467, 1468, 1476, 1478, 1481, 1482, 1484, 1485, 1488, 1490, 1495, 1496, 1500, 1505,
1511, 1514, 1517, 1523, 1525, 1531,
1535, 1541, 1543, 1547, 1549, 1551, 1552, 1554, 1564, 1566, 1571, 1574, 1576, 1578, 1580, 1582,
1584, 1585, 1586, 1588, 1589, 1593,
1597, 1598, 1600, 1601, 1602, 1603, 1606, 1608, 1619, 1624, 1626, 1630, 1632, 1636, 1637, 1642,
1646, 1648, 1649, 1652, 1661, 1663,
1664, 1666, 1668, 1669, 1670, 1672, 1673, 1675, 1679, 1680, 1685, 1686, 1687, 1690, 1695, 1697,
1703, 1704, 1705, 1709, 1710, 1713,
1716, 1719, 1722, 1725, 1726, 1727, 1734, 1739, 1740, 1741, 1743, 1744, 1748, 1750, 1752, 1754,
1761, 1764, 1768, 1774, 1778, 1792,
1793, 1796, 1798, 1799, 1800, 1814, 1817, 1819, 1823, 1824, 1829, 1830, 1832, 1840, 1845, 1846,
1847, 1848, 1853, 1856, 1857, 1858,
1861, 1862, 1868, 1869, 1871, 1872, 1876, 1882, 1883, 1890, 1894, 1895, 1901, 1905, 1914, 1918,
1919, 1922, 1926, 1927, 1930, 1931,
1932, 1933, 1937, 1944, 1948, 1955, 1957, 1961, 1966, 1968, 1974, 1977, 1978, 1980, 1981, 1982,
1983, 1985, 1987, 1988, 1991, 1993,
1997, 2000, 2002, 2003, 2007, 2012, 2015, 2016, 2019, 2020, 2024, 2026, 2028, 2031, 2034, 2039,
2048, 2061, 2067, 2073, 2075, 2083,
2084, 2088, 2093, 2095, 2098, 2111, 2115, 2118, 2121, 2126, 2127, 2133, 2152, 2155, 2157, 2158,
2159, 2165, 2171, 2176, 2186, 2190,
2193, 2195, 2196, 2201, 2204, 2212, 2217, 2233, 2236, 2242, 2243, 2257, 2258, 2269, 2270, 2274,
2275, 2282, 2288, 2296, 2297, 2302,
2308, 2315, 2322, 2325, 2326, 2332, 2335, 2340, 2359, 2372, 2373, 2387, 2395, 2398, 2404, 2408,
2415, 2417, 2445, 2449, 2452, 2457,
2463, 2464, 2466, 2483, 2486, 2488, 2494, 2495, 2496, 2507, 2510, 2511, 2515, 2520, 2521, 2524,
2525, 2526, 2527, 2528, 2529, 2540,
2541, 2544, 2558, 2563, 2573, 2577, 2583, 2584, 2586, 2598, 2617, 2621, 2625, 2627, 2629, 2634,
2639, 2653, 2672, 2673, 2675, 2683,
2688, 2691, 2696, 2698, 2699, 2702, 2704, 2711, 2716, 2723, 2724, 2727, 2733, 2734, 2739, 2741,
2742, 2745, 2753, 2754, 2756, 2766,
2767, 2773, 2774, 2777, 2781, 2785, 2789, 2794, 2797, 2804, 2807, 2813, 2818, 2823, 2833, 2847,
2850, 2856, 2858, 2859, 2865, 2868,
2869, 2870, 2872, 2875, 2893, 2901, 2903, 2905, 2908, 2915, 2920, 2924, 2927, 2928, 2932, 2940,
2941, 2942, 2943, 2947, 2953, 2958,
2966, 2967, 2971, 2972, 2975, 2976, 2979, 2983, 2990, 2991, 2993, 3008, 3014, 3017, 3020, 3022,
3026, 3031, 3035, 3036, 3040, 3041,
3046, 3054, 3057, 3058, 3060, 3069, 3070, 3082, 3085, 3087, 3089, 3090, 3091, 3094, 3097, 3102, 3103,
3112, 3115, 3116, 3117, 3122, 3123,
3127, 3128, 3129, 3132, 3137, 3140, 3155, 3161,
3162, 3165, 3167, 3174, 3181, 3182, 3188, 3190, 3191, 3192, 3201, 3203, 3210, 3220, 3227, 3241, 3242, 3244,
3254, 3269, 3273, 3276, 3277, 3281,
3282, 3283, 3290, 3302, 3303, 3307, 3309, 3322, 3328, 3329, 3333, 3337, 3346, 3348, 3349, 3356,
3357, 3358, 3361, 3362, 3365, 3366,
3367, 3368, 3370, 3373, 3375, 3376, 3383, 3385, 3387, 3393, 3396, 3398, 3399, 3401, 3408, 3411,
3422, 3428, 3430, 3431, 3437, 3442,
3448, 3452, 3455, 3456, 3457, 3462, 3463, 3465, 3467, 3468, 3473, 3478, 3480, 3490, 3491, 3506,
3510, 3513, 3514, 3516, 3529, 3539,
3544, 3546, 3551, 3554, 3558, 3562, 3565, 3582, 3583, 3585, 3591, 3594, 3595, 3604, 3605, 3608,
3621, 3627, 3629, 3630, 3631, 3633,
3639, 3641, 3646, 3657, 3658, 3660, 3668, 3678, 3680, 3686, 3688, 3694, 3700, 3701, 3703, 3705,
3708, 3711, 3713, 3714, 3717, 3719,
3727, 3728, 3738, 3746, 3747, 3751, 3754, 3759, 3762, 3771, 3779, 3783, 3795, 3796, 3797, 3798,
3799, 3801, 3802, 3805, 3816, 3818,
3819, 3820, 3822, 3830, 3836, 3842, 3847, 3848, 3852, 3858, 3861, 3866, 3868, 3879, 3881, 3884,
3886, 3890, 3893, 3895, 3902, 3909,
3916, 3917, 3930, 3931, 3940, 3942, 3946, 3957, 3961, 3971, 3972, 3973, 3981, 3984, 3986, 3993,
3995, 3996, 3998, 4001, 4003, 4008,
4014, 4026, 4027, 4029, 4039, 4045, 4057, 4085, 4092, 4107, 4112, 4117, 4126, 4134, 4135, 4148,
4151, 4154, 4157, 4162, 4163, 4168,
4169, 4174, 4176, 4179, 4183, 4188, 4189, 4193, 4197, 4201, 4205, 4206, 4210, 4211, 4221, 4226,
4230, 4234, 4243, 4248, 4250, 4251,
4258, 4266, 4275, 4277, 4284, 4287, 4288, 4306, 4313, 4320, 4325, 4326, 4327, 4333, 4343, 4346,
4349, 4351, 4354, 4357, 4362, 4367,
4371, 4375, 4377, 4385, 4387, 4388, 4401, 4410, 4414, 4420, 4421, 4424, 4426, 4431, 4438, 4439,
4441, 4443, 4454, 4455, 4461, 4463,
4464, 4467, 4469, 4477, 4480, 4484, 4487, 4490, 4491, 4496, 4497, 4498, 4500, 4505, 4508, 4509,
4510, 4515, 4516, 4517, 4519, 4524,
4526, 4530, 4533, 4541, 4548, 4550, 4558, 4560, 4573, 4580, 4582, 4585, 4592, 4595, 4597, 4618,
4619, 4622, 4623, 4628, 4633, 4635,
4646, 4647, 4649, 4651, 4652, 4655, 4657, 4662, 4663, 4667, 4672, 4679, 4683, 4695, 4700, 4701,
4703, 4704, 4705, 4711, 4712, 4714,
4715, 4716, 4718, 4720, 4722, 4725, 4726, 4731, 4732, 4733, 4734, 4738, 4749, 4751, 4757, 4759,
4763, 4765, 4767, 4768, 4777, 4779,
4789, 4797, 4799, 4801, 4803, 4809, 4818, 4821, 4824, 4830, 4832, 4833, 4834, 4835, 4840, 4844, 4847,
4854, 4856, 4860, 4862, 4863, 4870,
4877, 4886, 4887, 4889, 4894, 4899, 4905, 4910,
4920, 4928, 4932, 4937, 4941, 4944, 4949, 4951, 4954, 4955, 4956, 4958, 4967, 4978, 4991, 5001, 5006, 5007,
5013, 5015, 5025, 5028, 5032, 5036,
5044, 5054, 5060, 5066, 5067, 5073, 5074, 5080, 5081, 5084, 5085, 5088, 5093, 5094, 5095, 5104, 5110,
5113, 5121, 5126, 5128, 5130, 5134,
5139, 5149, 5160, 5163, 5167, 5171, 5184, 5191,
5194, 5201, 5202, 5217, 5224, 5225, 5228, 5233, 5243, 5246, 5248, 5252, 5259, 5260, 5261, 5265, 5267, 5268,
5277, 5281, 5284, 5286, 5291, 5292,
5297, 5304, 5310, 5312, 5317, 5323, 5328, 5330, 5332, 5344, 5351, 5365, 5369, 5370, 5374, 5389,
5398, 5400, 5407, 5414, 5415, 5419,
5421, 5427, 5439, 5440, 5441, 5443, 5450, 5460, 5461, 5465, 5471, 5472, 5473, 5474, 5477, 5480,
5483, 5484, 5497, 5498, 5502, 5503,
5504, 5505, 5508, 5509, 5511, 5515, 5518, 5523, 5525, 5527, 5531, 5537, 5539, 5541, 5543, 5547,
5548, 5549, 5555, 5559, 5560, 5562,
5568, 5570, 5571, 5574, 5582, 5584, 5587, 5598, 5601, 5605, 5606, 5607, 5608, 5612, 5616, 5619,
5622, 5626, 5629, 5630, 5633, 5638,
5639, 5641, 5646, 5647, 5648, 5649, 5657, 5659, 5660, 5664, 5665, 5666, 5667, 5670, 5677, 5679,
5681, 5683, 5689, 5690, 5692, 5695,
5699, 5701, 5705, 5708, 5709, 5710, 5711, 5715, 5724, 5725, 5726, 5728, 5734, 5737, 5739, 5742,
5745, 5746, 5749, 5755, 5760, 5772,
5776, 5777, 5779, 5782, 5789, 5795, 5799, 5803, 5805, 5818, 5820, 5821, 5824, 5830, 5831, 5832,
5836, 5838, 5840, 5845, 5847, 5849,
5850, 5855, 5856, 5857, 5858, 5866, 5880, 5882, 5884, 5890, 5892, 5893, 5900, 5904, 5911, 5913,
5914, 5918, 5920, 5924, 5925, 5933,
5934, 5939, 5940, 5941, 5946, 5953, 5955, 5959, 5961, 5966, 5967, 5968, 5969, 5987, 5993, 5996,
6013, 6015, 6019, 6020, 6024, 6027,
6031, 6034, 6036, 6047, 6056, 6063, 6066, 6073, 6074, 6077, 6103, 6106, 6118, 6122, 6123, 6134,
6139, 6146, 6155, 6158, 6161, 6164,
6173, 6178, 6179, 6181, 6184, 6193, 6197, 6205, 6212, 6213, 6214, 6223, 6230, 6235, 6239, 6248,
6253, 6264, 6271, 6275, 6280, 6282,
6288, 6289, 6290, 6303, 6304, 6312, 6322, 6324, 6330, 6332, 6343, 6346, 6352, 6353, 6355, 6357,
6358, 6368, 6369, 6377, 6384, 6388,
6404, 6415, 6423, 6426, 6431, 6437, 6440, 6447, 6455, 6459, 6462, 6463, 6466, 6475, 6479, 6487,
6488, 6490, 6495, 6498, 6499, 6510,
6513, 6516, 6520, 6522, 6532, 6545, 6549, 6560, 6567, 6577, 6591, 6592, 6596, 6604, 6610, 6624,
6632, 6634, 6635, 6644, 6649, 6658,
6671, 6674, 6676, 6677, 6678, 6679, 6681, 6687, 6689, 6694, 6707, 6716, 6720, 6724, 6725, 6726,
6733, 6738, 6741, 6748, 6752, 6756,
6781, 6782, 6788, 6790, 6795, 6806, 6809, 6810, 6812, 6813, 6817, 6818, 6826, 6831, 6832, 6834,
6837, 6846, 6851, 6853, 6857, 6860,
6864, 6865, 6874, 6879, 6885, 6894, 6897, 6898, 6903, 6905, 6906, 6911, 6914, 6918, 6924, 6927,
6928, 6929, 6939, 6959, 6962, 6969,
6976, 6982, 6984, 6989, 6995, 6996, 7027, 7033, 7043, 7044, 7055, 7064, 7065, 7069, 7070, 7073,
7077, 7079, 7082, 7086, 7087, 7093,
7097, 7098, 7106, 7109, 7115, 7116, 7117, 7119, 7120, 7121, 7132, 7133, 7135, 7137, 7151, 7153,
7154, 7159, 7163, 7165, 7167, 7169,
7171, 7179, 7181, 7185, 7189, 7202, 7205, 7206, 7208, 7211, 7214, 7223, 7234, 7237, 7243, 7247,
7248, 7249, 7258, 7259, 7262, 7268,
7270, 7275, 7276, 7282, 7285, 7289, 7295, 7298, 7302, 7316, 7319, 7326, 7328, 7331, 7333, 7338,
7342, 7348, 7353, 7358, 7373, 7375,
7389, 7394, 7398, 7400, 7403, 7410, 7425, 7428, 7434, 7442, 7456, 7461, 7465, 7479, 7489, 7491,
7498, 7501, 7506, 7513, 7537, 7546,
7553, 7562, 7574, 7581, 7585, 7586, 7589, 7598, 7600, 7601, 7606, 7607, 7612, 7620, 7628, 7629,
7634, 7639, 7642, 7648, 7652, 7662,
7664, 7670, 7675, 7676, 7680, 7688, 7690, 7691, 7699, 7703, 7708, 7714, 7720, 7721, 7734, 7735,
7738, 7750, 7754, 7764, 7765, 7766,
7785, 7794, 7796, 7797, 7803, 7806, 7817, 7820, 7822, 7823, 7826, 7834, 7850, 7857, 7861, 7871,
7876, 7879, 7887, 7889, 7893, 7894,
7899, 7906, 7916, 7933, 7939, 7940, 7941, 7953, 7954, 7969, 7973, 7975, 7979, 7984, 7988, 7996,
7997, 8003, 8008, 8022, 8027, 8034,
8038, 8046, 8054, 8056, 8059, 8062, 8063, 8065, 8071, 8080, 8084, 8094, 8097, 8099, 8101, 8110,
8112, 8115, 8118, 8126, 8134, 8137,
8161, 8178, 8179, 8181, 8182, 8189, 8192, 8194, 8195, 8202, 8206, 8208, 8215, 8220, 8229, 8231,
8233, 8234, 8244, 8245, 8246, 8247,
8248, 8250, 8258, 8260, 8261, 8265, 8270, 8271, 8278, 8282, 8285, 8289, 8301, 8303, 8308, 8320,
8321, 8332, 8336, 8342, 8343, 8352,
8357, 8359, 8364, 8372, 8373, 8379, 8381, 8388, 8393, 8395, 8409, 8412, 8415, 8417, 8419, 8424,
8430, 8439, 8444, 8445, 8448, 8458,
8461, 8481, 8486, 8500, 8502, 8506, 8518, 8524, 8528, 8531, 8545, 8546, 8548, 8555, 8572, 8580,
8585, 8586, 8592, 8595, 8598, 8601,
8611, 8612, 8618, 8623, 8625, 8627, 8629, 8637, 8639, 8643, 8655, 8658, 8660, 8663, 8665, 8674,
8675, 8676, 8684, 8692, 8700, 8701,
8704, 8716, 8722, 8727, 8728, 8732, 8734, 8743, 8747, 8751, 8760, 8769, 8772, 8776, 8787, 8789,
8793, 8800, 8804, 8805, 8812, 8818,
8819, 8821, 8822, 8832, 8833, 8834, 8838, 8840, 8844, 8847, 8852, 8864, 8876, 8879, 8881, 8882,
8884, 8887, 8889, 8894, 8902, 8903,
8915, 8933, 8934, 8937, 8941, 8945, 8947, 8950, 8952, 8959, 8960, 8966, 8969, 8977, 8984, 8996,
8997, 9002, 9003, 9013, 9015, 9016,
9021, 9024, 9028, 9031, 9041, 9043, 9045, 9055, 9057, 9086, 9092, 9095, 9097, 9099, 9102, 9103,
9106, 9110, 9111, 9122, 9123, 9129,
9135, 9140, 9143, 9147, 9150, 9163, 9166, 9169, 9170, 9175, 9180, 9184, 9187, 9189, 9210, 9211,
9214, 9217, 9218, 9223, 9234, 9239,
9249, 9254, 9255, 9274, 9283, 9287, 9289, 9290, 9299, 9309, 9313, 9314, 9322, 9335, 9340, 9341,
9352, 9361, 9362, 9373, 9388, 9402,
9409, 9430, 9447, 9464, 9470, 9473, 9493, 9511, 9513, 9520, 9521, 9525, 9531, 9541, 9544, 9547,
9567, 9580, 9588, 9591, 9597, 9604,
9615, 9616, 9618, 9631, 9637, 9641, 9656, 9659, 9662, 9663, 9677, 9680, 9684, 9686, 9695, 9709,
9710, 9713, 9722, 9724, 9726, 9729,
9731, 9735, 9738, 9742, 9743, 9745, 9748, 9754, 9757, 9771, 9776, 9777, 9779, 9786, 9798, 9804,
9808, 9813, 9818, 9829, 9835, 9850,
9860, 9862, 9867, 9870, 9876, 9877, 9883, 9886, 9907, 9913, 9916, 9917, 9927, 9929, 9935, 9940,
9945, 9950, 9951, 9954, 9957, 9959,
9961, 9963, 9964, 9965, 9975, 9976, 9992}
La suite des « Miss
numbers » est désormais décrite là.
Une généralisation
de cette idée est due à Hans Havermann (à combien
d’unités de zéro s’arrête la suite d’un entier a(n) avant de basculer
dans les nombres négatifs ?) Elle est
illustrée ici.
[Note] :
Il n’y a
pas (à l’heure actuelle) de
réponse à la question :
peut-on déterminer si un entier est
0-miss sans calculer
tous les nombres de sa suite ?
Merci à Maximilian Hasler et Hans
Havermann pour leur travail impeccable !
__________
Mise à jour bissextile (29 février 2012) :
Hans Havermann a eu l’idée de poursuivre les soustractions de chiffres au-delà de la limite négative. Cela donne par exemple pour 12 :
12 - 1 = 11 <-- étape
1
11 - 2 = 9 <-- étape
2
9 - 1 = 8 <-- étape
3
8 - 1 = 7 <-- étape
4
7 - 9 = -2 <-- étape
5
-2 - 8 =
-10 <-- étape 6
-10 - 7 =
-17 <-- étape 7
-17 -(-2)
= -15 <-- étape 8
-15 -(-1)
= -14 <-- étape 9
-14 -(-0)
= -14 <-- étape 10
-14 -(-1)
= -13 <-- étape 11
-13 -(-7)
= -6
<-- étape 12
-6 -(-1)
= -5
<-- étape 13
-5 -(-5)
= 0 <-- étape
14 « hit » !
0 –(-1) = 1
1 -(-4) = 5
5 -(-1) = 6
6 -(-4) = 10
10 -(-1) = 11
11 -(-3) = 14
14 -(-6) = 20
20 -(-5) = 25
25 -(-0) = 25
25 - 1
= 24
24 - 5
= 19
19 - 6
= 13
etc.
On assiste
à une sorte de parcours en yo-yo, la suite engendrée
par 12 entrant en territoire négatif,
puis en sortant, y entrant
à nouveau, etc. Hans
Havermann a remarqué que
le zéro était alors atteint par tous les nombres si on les autorisait ainsi à entrer en territoire négatif. Mieux :
le zéro serait atteint une infinité
de fois par tous les nombres supérieurs à 9 !
La suite S (placée ici dans l’OEIS) montre
à quel moment l’entier a(n) touche ainsi
son premier zéro :
a(n)
= 0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19 20 21
22 23
S = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 48
14 76793 385 12 232
98 24 4
6 10952 8
...
Elle se lit ainsi pour a(n) = 10, par exemple :
« Il faut 3 étapes à 10 pour toucher son
premier zéro »
(En effet 10 produit 10,9,9,0 par soustractions
successives de 1, 0 puis
9).
Pour 11 il
faut 48 étapes et pour 12 il
en faut 14 (détaillées ci-dessus, avec « hit » en face du premier zéro). Pour 13 il faut... 76793 soustractions successives de chiffres (positifs ou négatifs)
avant de toucher zéro !
Voici le yo-yo graphique de 12 (merci à Hans) :
Les points rouges matérialisent les deux seuls zéros que
touche 12 en 2000 étapes [l’axe
des « x » compte les étapes
et l’axe des « y » la hauteur ou la profondeur du parcours (en bleu)]. On notera que la ligne bleue
peut couper l’axe horizontal de hauteur y = 0 SANS apparition
d’un point rouge : entre les étapes
4 et 5 de 12, par exemple, il y a « passage de
la ligne » SANS passage par zéro :
12 - 1 = 11 <-- étape 1
11 - 2 = 9 <-- étape 2
9 - 1 = 8 <-- étape
3
8 - 1 = 7 <-- étape
4
7 - 9 = -2 <-- étape
5
-2 - 8 =
-10 <-- étape 6
Hans Havermann fournit ici les
diagrammes correspondant
aux 100 premiers entiers. Qui
parviendra à trouver le
premier zéro de 23 ?
Sa valeur semble supérieure à 400000000 (quatre cents millions)...
Hans a aussi calculé les premiers zéros des nombres 0 à 100 exprimés dans des bases allant de 2 (« two
») à 16 (« sixteen »), ici. La plus grande valeur du tableau est 12111685419: elle correspond à l’entier 65 qui, exprimé en base 6
(« six »), demande plus de 12 milliards d’opérations avant qu’il touche son premier zéro !
[Les cases du tableau marquées d’un tiret « - » ont une valeur inconnue
à l’heure actuelle, dont celle, en base 10, correspondant à l’entier 40] :
index two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen
0: 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1: 1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2: 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3: 3
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4: 6
9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5: 10
4 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6: 10
6 12 18 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7: 9
5 4 13 20 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8: 11
6 6 25
14 21 3 1 1 1 1 1 1 1 1
9: 20
7 13 4 12 14 207 3 1 1 1 1 1 1 1
10: 22
12 7 6 110 13 14 23 3 1 1 1 1 1 1
11: 21
11 6 34 4 25 26 14 48 3 1 1 1 1 1
12: 21
63 23 8 6
25 12 26 14 45 3 1 1 1 1
13: 19
16 19 7 15 4 48 13 76793 14 79084 3 1 1 1
14: 20
16 7 6 8 6 51 24 385 329 14 418 3 1 1
15: 20
16 8 21 37 32 4 3829 12 48 33 14 39 3 1
16: 20
16 8 9 7 8 6
273 232 13 338 32 14 39 3
17: 38
49 52 7 6 100 16 4 98 1451 25 115 2192 14 39
18: 38
16 13 8 24372 4414 8 6 24 36 12 - -
900776833 14
19: 37
50 12 25 9 7 19 2225 4 22 5046 13 56 -
8935434522
20: 45
18 13731 71 8 6 36936 8
6 6426011142 950 94 33578 471 426879
21: 46
20 369 9 63 25 253 21 10952 4 - 2268 12 5241
27
22: 41
19 76 24 28 9 7 39 8 6 23 - 24 13 -
23: 41
74 20 8 23 8 6 17
575702095 34 4 - 22
1026979573 -
24: 40
19 22 10 23 270 24 - 18 8
6 9612735775 - 90 12
25: 38
19 25 9 9 666 9 7 82 46 35 4 101976 94366 -
26: 43
84 86 15 25 292906 8 6 39 33730569 8 6
9141906023 77 14725
27: 43
17 81 173 8 25 13 14204 16 43 23 621 4 718867 126
28: 44
29 22 151 282034 12 30 9 7 32 20
8 6 54 5265609
29: 44
27 24 54 36968 13 - 8 6 260 5846 23 8094340 4 21
30: 45
42 21 1584 6510 40551 201 12 26 207 37 21 8 6 1290
31: 44
37 73 114 33 166 27 13 9 7 43 19 23 685 4
32: 37 3023696 73
677618179 12 83257249 245 68 8 6 89 39 21 8 6
33: 67
37 18 21 982 33859 12 472 30 58 - 35 1264 23 2431
34: 64
220 26 12109 26 57 13 26 12 9 7 4174 97 22 8
35: 63
195 24 94 9591 4999 3981 26 13 8 6 36 - 48 23
36: 83
234 321783 27 10 - 15 244 182 171 25 654 17 18 22
37: 89
40 23 15320 16 254 33 78 449 29 9 7 3299 744 20
38: 85
49 100 2272 255487
68 34 12 25 12 8 6 675 33 20966
39: 86
49 100 26 3979 186 12 13 62 13 24497 9025 - 1251 41
40: 84
47 120 106 166 13 265 330 - 825769 554 9 7 95 587
41: 89 225
27 31 157
1519960239 30 15 31240376 59 138 8 6 16 107095
42: 85
45 544 31 12605 397 31 30 410 53 12 35 61 3327 99
43: 89
47 26 109 31 14 725 35 12 61 13 29
9 7 3233
44: 85
1534 112 504 28 15 29 37 13 30 697217 150 8 6 85
45: 88
44 28 111 105 90 12 14 105 82 65237676 - 21305 24 41
46: 82
258 120 19076 22 13 - 15 15 179 605228 12 75 9 7
47: 82
250 111 28 22 1009 13 13 166 30 1920 13 67 8
6
48: 78
42 28 33879567 31 1985 13 462093 6146
8760451204 34 - 28 229 56
49: 79
48 121 2066 209297 13 38 14 33 13 32 1172 140 89 9
50: 85
45 28 94 127 376695 14 40343236 42 331 33 161 12 28 8
51: 87
266 29 22 203842 17 15 36 1177 15 152 26 13 - 732
52: 87
45 4585 570 2476718 60 12 12 16 65 16 33 60 54 34
53: 85
49 32 487 15757 16
97 33 13 35 43 709 -
7985826521 73
54: 93
45 30 27 123 610 13 330 105 81 13 86 - 12 -
55: 91
41 142 37 36
546122652 35 13 125 309474 100 676 - 13 62
56: 89
51 28 498 217940 88 113 293 98 14 15 118 192 29 314
57: 100
325 31 552 476 123 44 14
7810 15 552 17 34 363 -
58: 93
53 31 138 3308 544 127 15 306 17
7313656009 48 31 24 12
59: 96
311 29 31 22984 29 - 35 14 13 248 13 3359 60558 13
60: 98
321 33 33 36 26 40 39 37 62020 42 1083 15 31 28
61: 96
335 29 132 150 288 13 6819 97
108 33 15 105 910 -
62: 91
56 131 130 152 361 36 13 13 393376945 - 27 1109 239 23
63: 91
55 719 138 2899 490 12238210 378 - 41 57192 19224056 44 136621 1864
64: 75
54 29 142 137 527 15 114 14 6306 - 233 13 44 30
65: 116
60 189 144
12111685419 121 63 365 15 92 408 1236 4965 2257538 223
66: 111
59 191 36 21726 639 18 118 41 18 48 - 15 16 14650
67: 111 370
1028 4637 37 151 59 1281 7294 524 109 14 - 390 10421017
68: 141
59 1524 152 132 31 3553 39 14 44 965 15 2744 27352948 14
69: 146
61 14439 142 32 126 58 14 307 1256 101 16
1672740 13 15
70: 140
59 1637 32 123 37 185 46 98 116 108 3557178 3239120 - 181896
71: 142
2418 53 157 530 546 57 71959 - 16 36 42126717
135668366 15 17
72: 160
60 52 161 2246 37 357 17 6478
15 1859 6251921120 234 8106 338
73: 208
364 330 157 26 3143 527 473 - 107 - 1219 29542691 2947 12450
74: 185
62 347 34 520 30003674 172 17308 17 108 7534 813 41966 244 13
75: 186
62 53 4729 2995 150 140941 114 351 36 17 275 19 25980168 256
76: 185
65 57 147 32 214186 15507466 16 - 380737 1490 258583 45 6252 15
77: 204 381
356 168 121 216280 86015 14 17 6670 422951 - 49 102440 65
78: 183
2632 302 152 647 45 24 109 - 15 53 17 285671 14 97526608
79: 184
395 1787 36 161 243379
93 46 15 377 - 19 103 15 33
80: 167
2797 216458 160 174 43 520 137 454 311 47 48
161663 18 -
81: 162
54 70 4722 171 212528 669 17 53 418 53529 496 37 8235 22895
82: 174
44068 420
6386943 40 3750 2468 833 19 17 33589 40 92 1490047 67390355
83: 175
66 83 4580 39 166 3331 34313252 20 41 53012462 7654 94 50 39
84: 174
67113 81 160 38 39 40 221 152 51 18 53 -
315 375
85: 167
84 2815 43 40 45
7853801982 27540 631697 64386749 37 427858 57
3542878184 475172
86: 176
611 84 40 813 51 464 4201 50 1376 39113 - 45 258 19
87: 176
611 85 41 188 3475 33 223 103 -
6244277482 27343316 - 16128 54
88: 162
88 85 44 41 40 159
9472772861 16 16 45 6785 18 36 169638
89: 167
84 471 192 788 3946 3669 28624 9485 64580 49 42 5449 - 6144
90: 161
5680 81 39 43 3154
38 98 665
128699177 17 48552
800239008 124 -
91: 168
119 86 40 41 2799442 3456 115140 1503328 94952189 - - - 18 95
92: 172 848
423 181 837 4016 35287047 44 581 79171 - 13505 19 1627 37
93: 173
112 85 189 31346 36 42 144 57 129 45 391 117 55 107493
94: 169
117 329242 40 166 37 167
140 155 45 48 17 1119 148 26290
95: 165
804 437 5908 4484 43 42 32 1746 1764 18 49 117 19
3326575845
96: 153
111 79 860 43 40 181 106 50 110 439 458344 16 463 16
97: 150
897 77 41 862 2430971 42 288 126 10281 127 18 17 4268798 17
98: 171
811 2849 861 965 36 188 348 136
658299 17 17 152 18 -
99: 171 782
492 181 898 31 3855
3234741568 54 145 19 40 21 57876
554058015
100: 165 132
476 9068626 43 155 44 3605 19 149 - 49 23 42 2082
Merci encore à Hans pour ses formidables calculs et développements de l’idée initiale !
__________
D’autres idées de Sweet Suites ici.
__________
Monday March 5 Update
I’ve just received this (via De.Sci.Mathematik) from Nicolas Berr:
Hi Eric,
I wrote a C-program which gets the
following result for your "12" example:
12 - ( 1) =
11 <-- step 1
11 - ( 2) =
9 <-- step 2
9 - ( 1) =
8 <-- step 3
8 - ( 1) =
7 <-- step 4
7 - ( 9) =
-2 <-- step 5
-2 - ( 8) = -10
<-- step 6
-10 - ( 7) = -17 <-- step 7
-17 - (-2) = -15 <-- step 8
-15 - (-1) = -14 <-- step 9
-14 - ( 0) = -14 <-- step 10
-14 - (-1) = -13 <-- step 11
-13 - (-7) = -6
<-- step 12
-6 - (-1) = -5 <-- step 13
-5 - (-5) = 0 <-- step 14
hit 0 after 14 steps
The same program produces following
output for the "23" example:
hit 0 after 575702095
steps
(I have deactivated the single-step
output since it would produce a mass of text not suitable for NNTP transfer.)
Since the complete Sequence is a
text file of about 6.5 GiB, I have instrumented my
program to identify local extremal points (highest/lowest
value when the sign of the digit trail changes).
This information might help to
figure out, if my program works correct.
start at 23, step 0 =>
21 at step 1
turn: -23 (step: 14)
turn:
34 (step: 34)
turn: -107 (step: 73)
turn:
391 (step: 184)
turn: -1564 (step: 696)
turn:
8912 (step: 3360)
turn: -70685 (step: 21242)
turn:
615003 (step: 179508)
turn: -6421108 (step: 1817400)
turn:
79641373 (step: 21690477)
buffer overflow
(At this point my program stops
storing any further digit trail information. Since the buffer contains a great
portion of digit trail stored so far, it can continue until the buffer is
empty)
turn: -1177787965 (step: 303908801)
hit 0 after 575702095 steps
Even more Information:
I’ve added the points at which the
sequence crosses (but does not hit) 0; each iteration consists of three steps:
a: (number at iteration start)
b: (get next digit)
c: a = a - b (number = new number,
put digits)
since the number that has been printed
changes during iteration I added an a, b or c to identify the substep which the number printed belongs to.
start: 23 (step: 1
a)
cross: -1 (step: 8
c)
turn : -23 (step: 15
b)
cross: 7
(step: 22 c)
turn : 34 (step: 35
b)
cross: -6 (step: 44
c)
turn : -107 (step: 74 b)
cross: 4
(step: 100 c)
turn : 391 (step: 185
b)
cross: -1 (step: 286
c)
turn : -1564 (step: 697 b)
cross: 4
(step: 1088 c)
turn : 8912 (step: 3361 b)
cross: -5 (step:
5679 c)
turn : -70685 (step: 21243 b)
cross: 4
(step: 38432 c)
turn : 615003 (step: 179509 b)
cross: -2 (step:
321041 c)
turn : -6421108 (step: 1817401 b)
cross: 2
(step: 3230391 c)
turn : 79641373 (step: 21690478 b)
cross: -5 (step:
39125648 c)
turn : -1177787965 (step: 303908802 b)
Greetings,
Nicolas
__________
Many thanks, Nicolas
-- great!