Modulus
(19 divisé par 9, reste 1
26 divisé par 6, reste 2)
J’ai publié le 10 décembre 2009 ce message sur fr.sci.maths :
Bonjour à tous,
Je cherche des nombres entiers N tels qu’on puisse
les voir comme concaténation de deux chaînes R et D ayant la propriété suivante
:
--> L’opération N/D a pour reste R.
Exemples :
N=13 --> R=1 et D=3
on vérifie bien que 13/3 a
pour reste 1
N=19 --> R=1 et D=9
on vérifie bien que 19/9 a
pour reste 1
N=26 --> R=2 et D=6
on vérifie bien que 26/6 a
pour reste 2
...
N=436 --> R=4 et D=36
on vérifie bien que 436/36 a
pour reste 4
Dernier détail : on coupera où l’on veut un N ayant
plus de 3 chiffres du moment que D ne commence pas par un zéro.
---
Quelle serait la suite S des N ayant la propriété indiquée ? J’ignore si
ce début est complet (je ne pense pas) :
S
= 13,19,26,39,46,49,59,69,79,89,111,133,199,411,412,422,433,436,444,466,499,...
à+
É.
Les nombres de la suite m’avaient été fournis en
partie par les réponses à un message posté quelques jours plus tôt sur la liste
Math-Fun.
---
Cinq minutes suffirent à « Philippe 92 » pour indiquer :
Bonjour,
il manque :
23 = 7×3 + 2
29 = 3×9 + 2
39 = 4×9 + 3
211 = 19×11 + 2
218 = 12×18 + 2
222 = 10×22 + 2
233 = 7×33 + 2
266 = 4×66 + 2
299 = 3×99 + 2
311 = 28×11 + 3
327 = 12×27 + 3
333 = 10×33 + 3
399 = 4×99 + 3
418 = 23×18 + 4
S devenait alors :
S = 13, 19, 23, 26, 29,
39, 46, 49, 59, 69, 79, 89, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299, 311,
327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, .
...
Mehdi Tibouchi calculait ensuite 500 termes :
S = 13, 19, 23, 26, 29, 39,
46, 49, 59, 69, 79, 89, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299, 311,
327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, 511, 515, 533,
545, 555, 599, 611, 618, 622, 627, 633, 654, 666, 699, 711, 721, 733, 763,
777, 799, 811, 812, 818, 822, 824, 833, 836, 844, 866, 872, 888, 899, 911,
927, 933, 981, 999, 1011, 1015, 1018, 1022, 1030, 1033, 1045, 1055, 1066,
1090, 1099, 1111, 1133, 1199, 1218, 1222, 1227, 1233, 1236, 1244, 1254,
1266, 1299, 1333, 1339, 1399, 1418, 1421, 1422, 1433, 1442, 1463, 1466,
1477, 1499, 1527, 1533, 1545, 1555, 1599, 1618, 1622, 1624, 1633, 1636,
1644, 1648, 1666, 1672, 1688, 1699, 1733, 1751, 1799, 1822, 1827, 1833,
1854, 1866, 1881, 1899, 1933, 1957, 1999, 2022, 2030, 2033, 2036, 2044,
2045, 2055, 2060, 2066, 2090, 2099, 2111, 2127, 2133, 2163, 2177, 2199,
2222, 2233, 2266, 2299, 2333, 2369, 2399, 2427, 2433, 2436, 2444, 2454,
2466, 2472, 2488, 2499, 2533, 2545, 2555, 2575, 2599, 2633, 2639, 2666,
2678, 2699, 2733, 2781, 2799, 2833, 2836, 2842, 2844, 2863, 2866, 2877,
2884, 2899, 2933, 2987, 2999, 3033, 3045, 3054, 3055, 3066, 3090, 3099,
3111, 3133, 3193, 3199, 3233, 3236, 3244, 3248, 3266, 3272, 3288, 3296,
3299, 3333, 3399, 3451, 3466, 3499, 3545, 3555, 3563, 3577, 3599, 3644, 3654,
3666, 3681, 3699, 3799, 3857, 3866, 3899, 3999, 4044, 4045, 4055, 4060,
4066, 4072, 4088, 4090, 4099, 4108, 4111, 4148, 4199, 4222, 4254, 4263,
4266, 4277, 4299, 4333, 4399, 4444, 4466, 4499, 4555, 4581, 4599, 4666,
4669, 4699, 4799, 4854, 4866, 4872, 4888, 4899, 4963, 4977, 4999, 5055,
5066, 5075, 5090, 5099, 5111, 5135, 5185, 5199, 5266, 5278, 5299, 5333,
5399, 5466, 5481, 5499, 5555, 5599, 5663, 5666, 5672, 5677, 5684, 5688,
5699, 5799, 5866, 5887, 5899, 5999, 6066, 6090, 6099, 6111, 6162, 6199, 6222,
6266, 6293, 6299, 6333, 6377, 6381, 6399, 6466, 6472, 6488, 6496, 6499,
6599, 6666, 6699, 6799, 6899, 6999, 7077, 7090, 7099, 7111, 7189, 7199,
7259, 7281, 7288, 7299, 7333, 7399, 7499, 7599, 7699, 7777, 7799, 7899,
7999, 8088, 8090, 8099, 8108, 8111, 8148, 8199, 8216, 8222, 8296, 8299,
8333, 8399, 8444, 8499, 8599, 8666, 8699, 8799, 8888, 8899, 8999, 9099,
9111, 9199, 9243, 9299, 9333, 9399, 9499, 9599, 9699, 9799, 9899, 9999,
10111, 10135, 10185, 10222, 10270, 10333, 10370, 10555, 10666, 10999,
11111, 11297, 11333, 11407, 11999, 12108, 12111, 12148, 12162, 12222,
12324, 12333, 12444, 12666, 12999, 13111, 13117, 13333, 13351, 13481,
13999, 14111, 14126, 14189, 14222, 14259, 14333, 14378, 14518, 14666,
14777, 14999, 15111, 15135, 15185, 15333, 15405, 15555, 15999, 16108,
16111, 16144, 16148, 16216, 16222, 16296, 16333, 16432, 16444, 16592,
16666, 16888, 16999, 17111, 17153, 17333, 17459, 17629, 17999, 18111,
18162, 18222, 18243, 18333, 18486, 18666, 18999, 19111, 19171, 19333,
19513, 19703, 19999, 20108, 20111, 20135, 20148, 20180, 20185, 20222,
20270, 20333, 20370, 20444, 20540, 20555, 20666, 20740, 20999, 21111,
21189, 21259, 21333, 21567, 21777, 21818, 21999, 22111, 22198, 22222,
22297, 22333, 22407, 22594, 22666, 22814, 22999, 23111, ...
Merci à tous – Kerry Mitchell, Andy Latto, Philippe 92 et Mehdi Tibouchi !
_________
P.-S.
Se peut-il qu’il existe des nombres N découpables en deux
chaînes R et D différentes, ces paires de chaînes vérifiant toutes deux la
propriété ?
On aurait alors [N = R1 soudé à D1],
d’un côté, et [N = R2 soudé à D2], de l’autre – avec N/D1
ayant pour reste R1 et N/D2 ayant pour reste R2.
L’idéal serait de trouver des N arbitrairement découpables et vérifiant à chaque fois la propriété ;
on aurait des choses comme (les minuscules représentent des chiffres):
N = abcdefgh et N/bcdefgh donne comme reste a
N/cdefgh donne comme reste ab
N/defgh donne comme reste abc
N/efgh donne comme reste abcd
... la condition impérative R < D marquant la fin
des découpes possibles (rappelons encore que D ne peut jamais commencer par
zéro).
La généralisation définitive du principe
étant :
(1)
choisir un nombre entier N
(2)
le découper en deux chaînes A et B dont aucune ne commence par zéro
(3)
voir A et B come des nombres entiers
(4)
appeler G le plus grand et P le plus petit
(5)
vérifier que pour toutes les découpes autorisées N/G donne P pour reste.
Existe-t-il de tels N ayant plus de deux
chiffres ?
__________
Avant-dernière minute :
Philippe 92 ne trouve que du terne – dommage !
« On trouve assez facilement (par force brute) des N
ayant deux découpages possibles.
Mais ils sont assez « ternes », de même
que ceux ayant trois et plus découpages possibles de la même sorte.
1333 = 4×333 + 1
1333 = 40×33 + 13
1999 = 2×999 + 1
1999 = 20×99 + 19
2333 = 7×333 + 2
2333 = 70×33 + 23
2666 = 4×666 + 2
2666 = 40×66 + 26
2999 = 3×999 + 2
2999 = 30×99 + 29
...
133333 = 4×33333 + 1
133333 = 40×3333 + 13
133333 = 400×333 + 133
etc.
La question reste ouverte (démontrer qu’il n’y en a
pas ?) en dehors de ces cas triviaux.
C’est à dire avec D composé de chiffres différents
(ou même de chiffres différents de 3, 6, 9) – le programme (aux limites de
l’essoufflement car pas optimisé du tout) n’en trouve pas jusqu’à N = 1 000 000)
D’un autre côté si l’on écrit (10^k - 1)*R = D*(Q -
1), on « voit » bien que les facteurs premiers de (10^k - 1)
divisent D ou Q-1 ; en dire plus semble moins évident. »
Merci Philippe
92 ! (voir sa page sur le sujet ici, avec Javascript et
cartouche de recherche ; c’est grâce à ce cartouche que fut élaboré le
tableau ci-dessous)
__________
Dernière minute :
Mehdi Tibouchi applique les règles vertes (1) à (5) de manière littérale et trouve la suite Sverte
suivante (nettoyée – ? – par mes soins des nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66,
77, 88 et 99 qui ne « collent » pas) :
> [voici] les 200 premiers termes de la suite pour laquelle on demande toutes les décompositions possibles (notons qu’au début, on a en particulier des cas où aucune décomposition n’est possible, et donc l’hypothèse est vérifiée par le vide) :
Sverte = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
13, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 32, 39, 41, 42, 43, 46, 49, 51, 52, 53, 54, 59, 61,
62, 63, 64, 65, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89,
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 111, 133, 199, 211, 218, 222, 233, 266, 299,
311, 327, 333, 399, 411, 412, 418, 422, 433, 436, 444, 466, 499, 511, 515, 533,
545, 555, 599, 611, 618, 622, 627, 633, 654, 666, 699, 711, 721, 733, 763, 777,
799, 811, 812, 818, 822, 824, 833, 836, 844, 866, 872, 888, 899, 911, 927, 933,
981, 999, 1111, 1333, 1999, 2111, 2222, 2333, 2666, 2999, 3111, 3333, 3999,
4111, 4222, 4333, 4444, 4666, 4999, 5111, 5135, 5333, 5555, 5999, 6111, 6222,
6333, 6666, 6999, 7111, 7259, 7333, 7777, 7999, 8111, 8148, 8216, 8222, 8333,
8444, 8666, 8888, 8999, 9111, 9243,
9333, 9999, 11111, 13333, 19999, 21111, 22222, 23333, 26666, 29999, 31111,
33333, 39999, 41111, 42222, 43333, 44444, 46666, 49999, 51111, 53333, 55555,
59999, 61111, 62222, 63333, 66666, 69999, 71111, 73333, 77777, 79999, 81111,
82222, 83333, 84444, 86666, 88888, 89999, 91111, 93333, 99999, 111111, 133333,
199999, 211111, 222222, 233333, 266666, 299999, 311111, 333333, 399999, 411111,
422222, 433333, 444444, 466666, 499999, 511111, 533333, 555555, 599999,
611111, 622222, 633333, 666666, 699999, 711111, 733333, 777777, 799999, 811111,
822222, 833333, 844444, 866666, 888888, 899999, 911111, 933333, 999999, ...
Le dernier terme ci-dessus comportant quatre
chiffres différents est 9243 ; en lui appliquant le protocole ‘vert’ ci-dessus on vérifie
bien que :
N = 9243
Découpe n°1 : G=924 et P=3
--> on a bien que N/G laisse comme reste P [9243/924 = 10×924 + 3]
Découpe n°2 : G=92 et P=43
--> on a bien que N/G laisse comme reste P [9243/92 = 100×92 + 43]
Découpe n°3 : P=9 et G=243
--> on a bien que N/G laisse comme reste P [9243/243 = 38×243 + 9]
On verra dans le tableau des nombres présentant
cette caractéristique (calculé grâce au beau programme de Philippe 92 pour l’intervalle zéro / dix millions), qu’au delà de 9243, tous les nombres
sont de la forme < aaaa...a > ou < abbbb...b > :
|
13 |
4×3 + 1 |
|
19 |
2×9
+ 1 |
|
23 |
7×3
+ 2 |
|
26 |
4×6
+ 2 |
|
29 |
3×9
+ 2 |
|
39 |
4×9
+ 3 |
|
46 |
7×6 +
4 |
|
49 |
5×9
+ 4 |
|
59 |
6×9
+ 5 |
|
69 |
7×9
+ 6 |
|
79 |
8×9
+ 7 |
|
89 |
9×9
+ 8 |
|
111 |
10×11
+ 1 |
|
133 |
4×33
+ 1 |
|
199 |
2×99
+ 1 |
|
211 |
19×11
+ 2 |
|
218 |
12×18 + 2 |
|
222 |
10×22
+ 2 |
|
233 |
7×33
+ 2 |
|
266 |
4×66
+ 2 |
|
299 |
3×99
+ 2 |
|
311 |
28×11
+ 3 |
|
327 |
12×27
+ 3 |
|
333 |
10×33
+ 3 |
|
399 |
4×99
+ 3 |
|
411 |
37×11
+ 4 |
|
412 |
34×12
+ 4 |
|
418 |
23×18
+ 4 |
|
422 |
19×22
+ 4 |
|
433 |
13×33
+ 4 |
|
436 |
12×36
+ 4 |
|
444 |
10×44
+ 4 |
|
466 |
7×66
+ 4 |
|
499 |
5×99
+ 4 |
|
511 |
46×11
+ 5 |
|
515 |
34×15
+ 5 |
|
533 |
16×33
+ 5 |
|
545 |
12×45
+ 5 |
|
555 |
10×55
+ 5 |
|
599 |
6×99
+ 5 |
|
611 |
55×11
+ 6 |
|
618 |
34×18
+ 6 |
|
622 |
28×22
+ 6 |
|
627 |
23×27
+ 6 |
|
633 |
19×33
+ 6 |
|
654 |
12×54
+ 6 |
|
666 |
10×66
+ 6 |
|
699 |
7×99
+ 6 |
|
711 |
64×11
+ 7 |
|
721 |
34×21
+ 7 |
|
733 |
22×33
+ 7 |
|
763 |
12×63
+ 7 |
|
777 |
10×77
+ 7 |
|
799 |
8×99
+ 7 |
|
811 |
73×11
+ 8 |
|
812 |
67×12
+ 8 |
|
818 |
45×18
+ 8 |
|
822 |
37×22
+ 8 |
|
824 |
34×24
+ 8 |
|
833 |
25×33
+ 8 |
|
836 |
23×36
+ 8 |
|
844 |
19×44
+ 8 |
|
866 |
13×66
+ 8 |
|
872 |
12×72
+ 8 |
|
888 |
10×88
+ 8 |
|
899 |
9×99
+ 8 |
|
911 |
82×11
+ 9 |
|
927 |
34×27
+ 9 |
|
933 |
28×33
+ 9 |
|
981 |
12×81
+ 9 |
|
999 |
10×99
+ 9 |
|
1333 |
4×333
+ 1 |
|
1999 |
2×999
+ 1 |
|
2111 |
19×111
+ 2 |
|
2333 |
7×333
+ 2 |
|
2666 |
4×666
+ 2 |
|
2999 |
3×999
+ 2 |
|
3111 |
28×111
+ 3 |
|
3999 |
4×999
+ 3 |
|
4108 |
38×108 + 4 |
|
4111 |
37×111
+ 4 |
|
4222 |
19×222
+ 4 |
|
4333 |
13×333
+ 4 |
|
4666 |
7×666
+ 4 |
|
4999 |
5×999
+ 4 |
|
5111 |
46×111
+ 5 |
|
5135 |
38×135
+ 5 |
|
5333 |
16×333
+ 5 |
|
5999 |
6×999
+ 5 |
|
6111 |
55×111
+ 6 |
|
6222 |
28×222
+ 6 |
|
6333 |
19×333
+ 6 |
|
6999 |
7×999
+ 6 |
|
7111 |
64×111
+ 7 |
|
7259 |
28×259
+ 7 |
|
7333 |
22×333
+ 7 |
|
7999 |
8×999
+ 7 |
|
8108 |
75×108
+ 8 |
|
8111 |
73×111
+ 8 |
|
8148 |
55×148
+ 8 |
|
8216 |
38×216
+ 8 |
|
8222 |
37×222
+ 8 |
|
8333 |
25×333
+ 8 |
|
8444 |
19×444
+ 8 |
|
8666 |
13×666
+ 8 |
|
8999 |
9×999
+ 8 |
|
9111 |
82×111
+ 9 |
|
9243 |
38×243 + 9 |
|
9333 |
28×333
+ 9 |
|
11111 |
10×1111
+ 1 |
|
13333 |
4×3333
+ 1 |
|
19999 |
2×9999
+ 1 |
|
21111 |
19×1111
+ 2 |
|
22222 |
10×2222
+ 2 |
|
23333 |
7×3333
+ 2 |
|
26666 |
4×6666
+ 2 |
|
29999 |
3×9999
+ 2 |
|
31111 |
28×1111
+ 3 |
|
33333 |
10×3333
+ 3 |
|
39999 |
4×9999
+ 3 |
|
41111 |
37×1111
+ 4 |
|
42222 |
19×2222
+ 4 |
|
43333 |
13×3333
+ 4 |
|
44444 |
10×4444
+ 4 |
|
46666 |
7×6666
+ 4 |
|
49999 |
5×9999
+ 4 |
|
51111 |
46×1111
+ 5 |
|
53333 |
16×3333
+ 5 |
|
55555 |
10×5555
+ 5 |
|
59999 |
6×9999
+ 5 |
|
61111 |
55×1111
+ 6 |
|
62222 |
28×2222
+ 6 |
|
63333 |
19×3333
+ 6 |
|
66666 |
10×6666
+ 6 |
|
69999 |
7×9999
+ 6 |
|
71111 |
64×1111
+ 7 |
|
73333 |
22×3333
+ 7 |
|
77777 |
10×7777
+ 7 |
|
79999 |
8×9999
+ 7 |
|
81111 |
73×1111
+ 8 |
|
82222 |
37×2222
+ 8 |
|
83333 |
25×3333
+ 8 |
|
84444 |
19×4444
+ 8 |
|
86666 |
13×6666
+ 8 |
|
88888 |
10×8888
+ 8 |
|
89999 |
9×9999
+ 8 |
|
91111 |
82×1111
+ 9 |
|
93333 |
28×3333
+ 9 |
|
99999 |
10×9999
+ 9 |
|
133333 |
4×33333
+ 1 |
|
199999 |
2×99999
+ 1 |
|
211111 |
19×11111
+ 2 |
|
233333 |
7×33333
+ 2 |
|
266666 |
4×66666
+ 2 |
|
299999 |
3×99999
+ 2 |
|
311111 |
28×11111
+ 3 |
|
399999 |
4×99999
+ 3 |
|
411111 |
37×11111
+ 4 |
|
422222 |
19×22222
+ 4 |
|
433333 |
13×33333
+ 4 |
|
466666 |
7×66666
+ 4 |
|
499999 |
5×99999
+ 4 |
|
511111 |
46×11111
+ 5 |
|
533333 |
16×33333
+ 5 |
|
599999 |
6×99999
+ 5 |
|
611111 |
55×11111
+ 6 |
|
622222 |
28×22222
+ 6 |
|
633333 |
19×33333
+ 6 |
|
699999 |
7×99999
+ 6 |
|
711111 |
64×11111
+ 7 |
|
733333 |
22×33333
+ 7 |
|
799999 |
8×99999
+ 7 |
|
811111 |
73×11111
+ 8 |
|
822222 |
37×22222
+ 8 |
|
833333 |
25×33333
+ 8 |
|
844444 |
19×44444
+ 8 |
|
866666 |
13×66666
+ 8 |
|
899999 |
9×99999
+ 8 |
|
911111 |
82×11111
+ 9 |
|
933333 |
28×33333
+ 9 |
|
1111111 |
10×111111
+ 1 |
|
1333333 |
4×333333
+ 1 |
|
1999999 |
2×999999
+ 1 |
|
2111111 |
19×111111
+ 2 |
|
2222222 |
10×222222
+ 2 |
|
2333333 |
7×333333
+ 2 |
|
2666666 |
4×666666
+ 2 |
|
2999999 |
3×999999
+ 2 |
|
3111111 |
28×111111
+ 3 |
|
3333333 |
10×333333
+ 3 |
|
3999999 |
4×999999
+ 3 |
|
4111111 |
37×111111
+ 4 |
|
4222222 |
19×222222
+ 4 |
|
4333333 |
13×333333
+ 4 |
|
4444444 |
10×444444
+ 4 |
|
4666666 |
7×666666
+ 4 |
|
4999999 |
5×999999
+ 4 |
|
5111111 |
46×111111
+ 5 |
|
5333333 |
16×333333
+ 5 |
|
5555555 |
10×555555
+ 5 |
|
5999999 |
6×999999
+ 5 |
|
6111111 |
55×111111
+ 6 |
|
6222222 |
28×222222
+ 6 |
|
6333333 |
19×333333
+ 6 |
|
6666666 |
10×666666
+ 6 |
|
6999999 |
7×999999
+ 6 |
|
7111111 |
64×111111
+ 7 |
|
7333333 |
22×333333
+ 7 |
|
7777777 |
10×777777
+ 7 |
|
7999999 |
8×999999
+ 7 |
|
8111111 |
73×111111
+ 8 |
|
8222222 |
37×222222
+ 8 |
|
8333333 |
25×333333
+ 8 |
|
8444444 |
19×444444
+ 8 |
|
8666666 |
13×666666
+ 8 |
|
8888888 |
10×888888
+ 8 |
|
8999999 |
9×999999
+ 8 |
|
9111111 |
82×111111
+ 9 |
|
9333333 |
28×333333
+ 9 |
|
9999999 |
10×999999
+ 9 |
Merci encore à tous !
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