Prime’s Rank

(où l’on remplace des facteurs premiers par leur rang)

 

 

L’histoire de Prime’s Rank commence par un courrier privé adressé à Georges Brougnard, fin janvier 2009 :

 

« Hello Georges -- je viens de tomber sur une chouette idée (qui me fera dormir mal ;-)

 

- je cherche depuis longtemps un jeu genre Syracuse (si un nombre est pair, divise-le par 2 ; s'il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1 au résultat ; recommence)

 

- le problème est de trouver une astuce qui permette (comme pour Syracuse) de monter, de descendre, de remonter, de s'effondrer finalement sur 1 — éventuellement de tomber sur des points fixes, sur des boucles, etc.

 

- j'ai fait chou-blanc jusqu'ici. Mais soudain... Attention, un poil compliqué !

 

a) on part d'un nombre (p.ex. 6)

b) on le décompose en facteurs premiers : 6 = 2.3 (facteurs en ordre croissant)

c) on écrit sous les facteurs leur rang dans la suite des premiers:

 

         facteurs : 2.3

            rangs : 1 2 (car le facteur 2 est le 1er nombre premier et le facteur 3 le 2e)

 

d) on concatène ces rangs pour former un nouveau nombre : 12

e) on recommence la procédure en (b).

 

REMARQUE : il se peut que le nombre obtenu par concaténation soit premier ; on le remplace alors par son propre rang dans la suite des premiers — et on recommence la procédure à partir de là.

 

Exemple de ce cas précis avec 4

 

a) 4

b) 4 = 2.2

c)     1 1

d) 11 (résultat de la concaténation) est remplacé par 5 (car 11, indécomposable en facteurs, est le 5e premier)

a) 5 -> est remplacé par 3

a) 3 -> est remplacé par 2

a) 2 -> est remplacé par 1 -- STOP

 

---

 

Je développe ici le cas de 6 (qui est un extraordinaire candidat -- si je ne me suis pas trompé !) :

- le nombre ci-dessous "entre guillemets anglais" est la concaténation des rangs des facteurs premiers écrits avant lui ;

- ce nombre entre guillemets est décomposé juste après la flèche en ses facteurs premiers (par ordre croissant), séparés par des points ;

- ensuite on recommence la procédure :

 

6 -> 2.3 = "12" -> 2.2.3 = "112" -> 2.2.2.2.7 = "11114" -> 2.5557 = "1733" -> "270" (car 1733 étant premier, on le remplace par son rang) -> 2.3.3.3.5 = "12223" -> 17.719 = "7128" -> 2.2.2.3.3.3.3.11 = "11122225" -> 5.5.23.23.29.29 = "33991010" ... etc.

 

(...)

 

Les nombres premiers qui appartiennent à la suite de Neil n°A007097 tombent tous sur 1 (par définition). Les composites qui passent par un des nombres de A007097 (cette même suite baptisée "Primeth recurrence") retombent du coup aussi sur 1 (ils sont « attirés » dans le vortex !)

 

Y a-t-il un nombre qui ne retombe pas sur 1 ? (qui entre dans une boucle, p.ex.)

 

Bonne nuit !

;-)

 

à+

E. »

 

---

 

Dès réception de ce message, Georges Brougnard se rua sur GBnums, son boulier automatique (disponible gratuitement ici), et calcula les suites commençant par 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et quelques autres :

 

 ->départ(4) : 4, 11, 5, 3, 2, 1 STOP

 

 ->départ(5) : 5, 3, 2, 1 STOP

 

 ->départ(6) : 6, 12, 112, 11114, 1733, 270, 12223, 7128, 11122225, 33991010, 13913661, 2107998, 12222775, 33910130, 131212367, 56113213, 6837229, 4201627, 266366, 112430, 131359, 7981, 969, 278, 134, 119, 47, 15, 23, 9, 22, 15 CYCLE

 

 ->départ(7) : 7, 4, 11, 5, 3, 2, 1 STOP

 

 ->départ(8) : 8, 111, 212, 1116, 112211, 52626, 124441, 28192, 11111152, 111165448, 1117261018, 1910112963, 252163429, 42205629, 2914219, 454002, 127605, 231542, 110938, 15631, 44510, 13605, 23155, 3582, 12246, 12637, 1509, 296, 11112, 111290, 131172, 1127117, 76613, 9470, 13161, 21328, 11111114,  14142115, 3625334, 1125035, 348169, 78151, 11369, 1373, 220, 1135, 349, 70, 134, 119, 47, 15, 23, 9, 22, 15 CYCLE

 

 ->départ(9) : 9, 22, 15, 23, 9 CYCLE

 

->départ(10) : 10, 13, 6, 12, 112, 11114, 1733, 270, 12223, 7128, 11122225, 33991010, 13, 913661, 2107998, 12222775, 33910130, 131212367, 56113213, 6837229, 4201627, 266366, 112430, 131359, 7981, 969, 278, 134, 119, 47, 15, 23, 9, 22, 15 CYCLE

 

->départ(666) : 666, 12212, 111420, 11223114, 12423409, 814060, 11361126, 12489114, 12517098, 12517139, 1837214, 137769, 28359, 22933, 7820, 11379, 2527, 488, 11118, 12729, 2582, 1210, 1355, 358, 141, 215, 314, 137, 33, 25, 33 CYCLE

 

->départ(1000) : 1000, 111333, 271217, 23744, 111111416, 111668035, 38123416, 111333214, 111134771, 52041017, 4504142 1193600 11111113374, 1291293111, 210659941, 11635952, 111158582, 112114318, 13341506, 1455641 512354, 182534, 151042, 17438, 11087, 1344, 11111124, 11285010, 122351376, 11112431073, 272684284, 117283810, 134146302, 121044136, 1118132200, 111331051208, 111654243638, 14366699733, 2225493779, 81368636, 112001924, 112921719, 25911084, 112331838 128221488, 111122262170, 13566196845, 222320108177, 8863086101, 405548474, 116871062, 145241063, 5289904, 111182002, 14821986, 12181067, 902891, 522175, 332349, 234139, 20756, 11691, 22284, 1122114, 1242932, 1126858, 1141559, 95098, 17407, 6627, 21515, 3667, 844, 1147, 1112, 11134, 1862, 1448, 11142, 122114, 16152, 1112122, 155186, 111368, 1111646, 145756, 116409, 24089, 6729, 2334, 1277, 206, 127, 31, 11, 5, 3, 2, 1 STOP

 

 

Une belle illustration de Jean-Marc Falcoz (« Je t'envoie le graphe des entiers jusqu'à 13 ; c'est 8 qui a la plus longue trajectoire avant de boucler. »

 

Il semble que tout finisse soit par 1, soit dans une boucle (la boucle la plus courte est formée par 14 --> 2.7 = "14" car les rangs des nombres premiers 2 et 7 sont 1 et 4).

 

Voici un dessin grossier des sauts occasionnés par 57 (échelle logarithmique), lequel retombe sur 1 en 102 étapes après avoir atteint un maximum de 222 312 455 509 au 32e saut :

 

->départ(57) : 57, 28, 114, 128, 1111111, 52628, 111748, 114663, 212174, 110111, 35131, 81414, 122615, 33341, 4584, 111243, 25475, 33171, 21339, 22351, 41127, 21621, 2920, 111321, 2224811, 223249, 66216, 11121124, 11433636, 112222222214, 12728585125, 33310151505, 222312455509, 8862793537, 635356125, 2233346429, 114257278, 114102049, 8413199, 268133, 23498, 11175, 23335, 3672, 1112227, 56579, 10297, 4233, 2723, 477, 2216, 11159, 1351, 444, 11212, 11409, 2529, 2260, 11330, 13527, 222239, 111928, 1117143, 2281534, 141831, 2222727, 265781, 23292, 1122118, 146162, 128124, 1122499, 414712, 1115304, 11124803, 426181, 428104, 11117155, 3443261, 99961, 9589, 1448, 11142, 122114, 16152, 1112122, 155186, 111368, 1111646, 145756, 116409, 24089, 6729, 2334, 1277, 206, 127, 31, 11, 5, 3, 2, 1 :

 

 

 

Cette idée est à l’origine d’un grand nombre de suites qui sont entrées dans l’OEIS de Neil Sloane :

 

-> A087712, par exemple, se contente d’indiquer ce que devient un nombre « n » après la première étape :

 

« a(1) = 1; if n = kth prime, a(n) = k; otherwise write all prime factors of n in nondecreasing order, replace each prime by its rank, and concatenate the ranks. »

 

-> A098282 indique la quantité d’étapes que produit « n » avant d’entrer dans une boucle, « n » valant 1, puis 2, puis 3, etc.

 

« Iterate the map k -> A087712(k) starting at n; a(n) is the number of steps at which we see a repeated term for the first time; or -1 if the trajectory never repeats. »

 

-> A077960 montre les étapes par lesquelles passe n = 18 avant de s’effondrer sur la valeur 1 (à l’étape 111 ; l’ensemble des valeurs atteintes par n = 18 est ici, et son diagramme ci-dessous) :

 

 

-> A145077 montre la succession des valeurs maxima atteintes pour n=1, puis par n=2, n=3, etc. (pour n=18 on voit ci-dessus que le maxima est atteint à l’étape 42 — avec la cote 222312455509, échelle logarithmique toujours)

 

-> A145078 indique la valeur minimale du plus petit entier faisant partie de la boucle dans laquelle entre « n »

 

-> A145079 montre la taille du cycle dans lequel entre n=1, puis n=2, n=3, etc.

 

-> A156055 est due à Robert G. Wilson, membre de la liste SeqFans (sur laquelle, fort des résultats de Georges Brougnard, j’avais répercuté l’idée) ; Robert a calculé le nombre d’étapes nécessaires pour que « n » entre dans un cycle (il adopte la convention que pour l’entier 1 le cycle vaut 1 — voir cependant la remarque de Farideh Firoozbakht après le tableau en deux colonnes, 30 lignes plus bas) :

 

Number (i) of iterations to repeat a term (starting with n):

i = 1,2,3,6,4,30,7,54,3,32, 5,29,31, 0, 3,19, 8,112,55,15,27, 3, 3,26, 1,20,223,102,33,13, 6,162, 1, 9,10,75,30,113,21, ...

n = 1 2 3 4 5  6 7  8 9 10 11 12 13 14 15 16 17  18 19 20 21 22 23 24 25 26  27  28 29 30 31  32 33 34 35 36 37  38 39  ...

 

On voit qu’il faut 30 étapes à n=6 pour entrer dans un cycle (ou s’effondrer sur 1) et aucune étape pour que 14 se reproduise à l’identique (en effet 14 se décompose en ses facteurs premiers 2.7, lesquels sont respectivement le 1er et le 4e nombre premier => 14)

 

Qui calculera la suite S des plus petits entiers qui cyclent en n étapes ?

Cette suite commence ainsi (au vu des résultats de Robert G. Wilson, ci-dessus) :

 

S = 14, 1, 2, 3, 5, 11, 4, 7, 17, 34, 35, ...

n =  0  1  2  3  4   5  6  7   8   9  10  ...

 

-> A144760 montre la trajectoire de n=6

 

-> A144813 montre la trajectoire de n=8

 

-> A144814 montre la trajectoire de n=10

 

-> A144915 montre la trajectoire de n=16

 

-> A144914 montre le début de la trajectoire de n=40 (« Does this trajectory converge? »)

 

__________

 

Note du 11 février 2009 :

 

Suite à la remarque publiée ce jour sur SeqFans par Farideh Firoozbakht, il semble qu’il faille réviser la façon de voir de Robert G. Wilson et retoucher sa suite A156055 :

 

Date: Wed, 11 Feb 2009 02:56:36 -0800 (PST)

From: Farideh Firoozbakht <mymontain(AT)yahoo.com>

 

Comments on A098282

 

Out of the first 1000 natural numbers there are only the following 62 numbers for which Mma [Mathematica] can't compute a(n).

 

A={40,52,87,106,116,164,173,189,192,204,210,239,240,259,276,284,342,345,372,375,377,385,392,412,436,449,480,501,519,560,577,610,622,641,642,644,675,682,684,728,734,737,759,764,801,816,831,834,854,861,874,905,908,922,925,940,958,966,971,975,985,990}

 

For the remaining n the values of {n,a(n)} are:

 

     n         a(n)

 

1

1

2

2

3

3

4

6

5

4

6

31

7

7

8

55

9

4

10

33

11

5

12

30

13

32

14

1

15

4

16

19

17

8

18

112

19

56

20

16

21

27

22

4

23

4

24

26

25

2

26

20

27

223

28

102

29

34

30

14

31

6

32

162

33

2

34

9

35

10

36

75

37

31

38

113

39

21

41

33

42

20

43

2

44

23

45

30

46

57

47

5

48

28

49

24

50

30

51

224

53

20

54

295

55

11

56

85

57

103

58

140

59

9

60

71

61

113

62

55

63

34

64

110

65

76

66

49

67

57

68

110

69

35

70

8

71

17

72

165

73

28

74

30

75

226

76

111

77

31

78

153

79

5

80

77

81

112

82

16

83

5

84

144

85

32

86

102

88

69

89

27

90

277

91

58

92

7

93

7

94

23

95

114

96

62

97

3

98

99

99

94

100

115

101

21

102

8

103

224

104

53

105

28

107

103

108

23

109

35

110

139

111

54

112

29

113

15

114

101

115

22

117

109

118

110

119

6

120

11

121

12

122

111

123

13

124

19

125

48

126

152

127

7

128

100

129

102

130

107

131

163

132

182

133

29

134

7

135

138

136

106

137

3

138

103

139

10

140

163

141

6

142

12

143

86

144

98

145

35

146

13

147

77

148

26

149

11

150

94

151

76

152

76

153

26

154

36

155

112

156

16

157

32

158

112

159

111

160

220

161

25

162

24

163

114

165

112

166

14

167

22

168

361

169

50

170

4

171

157

172

85

174

10

175

12

176

175

177

228

178

20

179

34

180

75

181

21

182

14

183

104

184

32

185

13

186

92

187

104

188

69

190

104

191

3

193

24

194

49

195

107

196

64

197

31

198

38

199

58

200

275

201

60

202

153

203

116

205

78

206

8

207

32

208

78

209

141

211

6

212

53

213

12

214

101

215

5

216

110

217

227

218

103

219

59

220

11

221

58

222

222

223

29

224

33

225

93

226

108

227

25

228

156

229

31

230

11

231

31

232

21

233

225

234

27

235

111

236

106

237

223

238

78

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13

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277

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4

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22

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22

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81

550

214

551

77

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38

553

79

554

112

555

11

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163

557

9

558

226

559

116

561

13

562

221

563

225

564

72

565

37

566

26

567

63

568

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54

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86

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29

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573

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74

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13

576

76

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229

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7

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158

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462

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90

755

49

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145

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8

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41

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155

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175

765

73

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176

767

17

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58

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114

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225

772

64

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4

774

32

775

74

776

131

777

149

778

229

779

22

780

359

781

154

782

35

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90

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127

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41

792

100

793

28

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21

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232

797

11

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800

74

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12

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164

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7

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83

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21

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825

8

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27

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150

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850

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68

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855

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231

857

27

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317

859

12

860

71

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238

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33

867

11

868

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871

103

872

38

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875

71

876

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877

77

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14

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77

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119

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27

884

12

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61

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887

37

888

242

889

7

890

13

891

68

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117

893

17

894

36

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20

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20

897

105

898

105

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34

900

33

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70

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96

916

24

917

220

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59

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33

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59

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87

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26

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106

933

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934

4

935

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26

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23

949

40

950

159

951

28

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953

25

954

16

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52

956

90

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73

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960

56

961

19

962

228

963

253

964

5

965

30

967

115

968

146

969

9

970

33

972

139

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14

974

25

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265

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35

980

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39

982

50

983

15

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260

986

162

987

103

988

32

989

71

991

23

992

100

993

35

994

28

995

165

996

75

997

362

998

108

999

122

1000

99

 

 

 

It's interesting that a(222)=222.

 

The known fixed points of A098282 (a(n)=n) are: 1, 2, 3, 7, 222, ...

Presumably if n is in A then a(n)<>n.

 

Farideh

 

Le programme Mathematica utilisé par Farideh réécrirait alors la suite A156055 de Robert G. Wilson ainsi (les désaccords sont soulignés) :

 

Number (i) of iterations to repeat a term (starting with n):

i = 1,2,3,6,4,31,7,55,4,33, 5,30,32, 1, 4,19, 8,112,56,16,27, 4, 4,26, 2,20,223,102,34,14, 6,162, 2, 9,10,75,31,113,21, ...

n = 1 2 3 4 5  6 7  8 9 10 11 12 13 14 15 16 17  18 19 20 21 22 23 24 25 26  27  28 29 30 31  32 33 34 35 36 37  38 39  ...

 

Le programme GBnums de Georges Brougnard, indépendamment de Mathematica, valide toutes les valeurs de Farideh.

 

__________

 

La plupart de ces calculs peuvent être vérifiés à la main en utilisant ces tables :

 

- liste des cent mille premiers nombres premiers (par Neil Sloane) :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt >

 

- liste des nombres premiers allant de un (1) à mille milliards (1012), mais fonctionnant par « fenêtres » ; le curseur de la souris, glissé sur un nombre composé, en affiche immédiatement la décomposition en facteurs) :

http://www.walter-fendt.de/m14f/primes_f.htm

 

__________

 

Note supplémentaire :

Il est intéressant de remarquer qu’on peut travailler à l’envers, et calculer facilement le ou les prédécesseurs d’un nombre.

 

a) Les nombres u de 1 à 9 n’ont qu’un seul prédécesseur : c’est le ue premier (ainsi 5 n’a-t-il que 11 comme prédécesseur car 11, n’étant pas décomposable doit être remplacé par 5 — comme nous l’avons vu plus haut dans la remarque ; 11 est en effet le 5e premier)

 

b) les nombres composés d’un chiffre unique suivi d’un ou plusieurs zéros n’ont qu’un prédécesseur également (10, par exemple, ou 200, ne peuvent provenir que de 29 ou 1223, respectivement 10e et 200e nombre premier).

 

c) presque tous les autres nombres sont susceptibles d’avoir plusieurs prédécesseurs : 1234, par exemple pourrait venir de (noter l’inversion de la flèche et du sens de lecture) :

 

1234 <- 1.234 <= 2 x 1481 = "2962"

1234 <- 12.34 <= 37 x 139 = "5143"

1234 <- "1234" <- "10061" (car 10061 est le 1234e premier)

 

On remarquera qu’il manque une ligne ci-dessus :

 

1234 <- 123.4 <= 677 x 7 = "4739".

 

Cette ligne est absente car on ne peut présenter les facteurs de "4739" du plus grand (677) au plus petit (7). La procédure normale oblige à décomposer "4739" en 7 x 677, ce qui produit 4.123 puis "4123" après concaténation. Ce n’est pas la même chose que "1234"... Il faut donc être prudent quand on calcule les prédécesseurs [on verra ci-dessous que certains nombres échappant aux catégories (a) et (b) plus haut n’ont qu’un prédécesseur].

 

                      Petit tableau (à compléter par une âme charitable...) des prédécesseurs successifs de n :

 

 

     préd(-1)      préd(-2)

 n    de n          de n

 

 1     2             3

 2     3             5

 3     5             7

 4     7            11

 5    11            31,   4

 6    13            41,  10

 7    17            59,  34

 8    19            67,  46

 9    23            83,  15

10    29           109,  69

11    31,  4       127,   7

12    37,  6       157,  85,  13

13    41,  10      179,  29

14    43,  14      191,  43,  14

15    47,  22      211, 119,  79,  9

16    53,  26      241, 101,  39

17    59,  34      277, 253, 139, 35

18    61,  38      283, 163,  95

19    67,  46      ... etc.

20    71          

21    73          

22    79,   9     

23    83,  15     

24    89,  21     

25    97,  33

26   101,  39

27   103,  51

28   107,  57

29   109,  69

30   113

31   127

32   131

33   137,  25

34   139,  35

35   149,  55

36   151,  65

37   157,  85

38   163,  95

39   167, 115

40   173

... etc.

 

 

 

 

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