Cascade

(de phrases autoréférentes)

Jean-Luc Piedanna a construit récemment (cf. liste Oulipo, le 13 mai 2012), une belle cascade de phrases autoréférentes :

« Cette phrase compte trente lettres »

« Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase compte trente lettres », compte quatre-vingt-huit lettres »

« Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase compte trente lettres », compte quatre-vingt-huit lettres », compte cent quarante-sept lettres »

« Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase compte trente lettres », compte quatre-vingt-huit lettres », compte cent quarante-sept lettres », compte deux cent quatre lettres »

...

Il s’agit, au bout de cette récurrence (voir tout en bas de page), de la plus longue suite possible en français de phrases autoréférentes incorporant une succession de phrases autoréférentes de même syntaxe. Les quantités de lettres successives sont données par la suite P ci-dessous, laquelle contient 79 termes (dont les quatre premiers sont ceux surlignés de jaune plus haut) :

P₇₉ = 30, 88, 147, 204, 266, 327, 397, 462, 523, 589, 653, 708, 773, 830, 899, 964, 1019, 1083, 1147, 1207, 1278, 1347, 1409, 1483, 1552, 1612, 1681, 1751, 1811, 1881, 1951, 2007, 2072, 2138, 2201, 2275, 2348, 2417, 2497, 2569, 2638, 2701, 2775, 2846, 2914, 2989, 3055, 3119, 3192, 3265, 3336, 3400, 3476, 3549, 3615, 3694, 3766, 3837, 3902, 3976, 4042, 4100, 4174, 4248, 4316, 4397, 4475, 4549, 4617, 4695, 4771, 4845, 4913, 4994, 5059, 5120, 5190, 5264, 5335.

Attention, pour prendre la mesure du résultat de Jean-Luc, il faut bien comprendre qu’il est impossible, quels que soient la syntaxe et le vocabulaire utilisés, d’obtenir en français une suite P de plus de 79 termes ! Voici pourquoi.

Examinons par exemple la proposition suivante :

« Cette phrase a vingt-huit lettres »

Elle est autoréférente car elle comporte 28 lettres. L’étape n°2 pourrait s’écrire ainsi :

« Cette phrase, augmentée de « Cette phrase a vingt-huit lettres », a soixante-quatorze lettres »

C’est encore exact, la phrase est autoréférente et sa syntaxe est copiée sur la phrase de départ. L’étape n°3 serait du type :

« Cette phrase, augmentée de « Cette phrase, augmentée de « Cette phrase a vingt-huit lettres », a soixante-quatorze lettres » a X lettres »

... mais voilà, aucun nombre X ne va – tous conduisent à un énoncé faux. Ainsi pour X valant « cent dix » aura-t-on :

« Cette phrase, augmentée de « Cette phrase, augmentée de « Cette phrase a vingt-huit lettres », a soixante-quatorze lettres » a cent dix lettres »

... sauf qu’il y en a 111 en réalité !

Et si on essaie « cent onze » pour X, la nouvelle phrase comportera 112 lettres ; de même pour « cent douze » qui compte 113 lettres ; « cent treize » qui en compte 114 ; « cent quatorze » qui en compte 116 ; « cent quinze » qui en compte... 114 ! Il n’y a pas moyen d’en sortir... La suite que nous avons essayé de construire sur le modèle « Cette phrase, augmentée de « Cette phrase a vingt-huit lettres » a Q lettres » n’est longue que de deux termes :

P = 28,74.

Si l’on y regarde de plus près, on voit que les « variables syntaxiques d’ajustement » sont au nombre de deux.

La première est donnée par la longueur de la phrase autoréférente-noyau :

« Cette phrase comporte/contient/s’écrit avec A lettres ».

Il y a un très, très grand nombre de phrases autoréférentes possibles de ce type. Elles s’écrivent toutes avec un certain nombre de lettres. Appelons A cette quantité (laquelle relève donc de notre choix).

La seconde variable d’ajustement est donnée par la taille de l’« enveloppe » qui vient englober systématiquement la phrase qui la précède :

« Cette phrase, augmentée/prolongée/complétée par..., comporte/contient/s’écrit avec... lettres »

Voilà donc d’où vient la variable d’ajustement que contient l’enveloppe : c’est dans le choix de l’expression « augmentée de », « prolongée par », « complétée par » – ou tout autre formulation que l’on retiendra et qui contiendra plus ou moins de lettres Car la syntaxe restante de l’enveloppe est fixée par la phrase-noyau elle-même : si le début de celle-ci est « Cette phrase remarquable », alors il faudra que toutes les enveloppes commencent par « Cette phrase remarquable » ; si le verbe de la phrase-noyau est « comporte », il faudra que tous les verbes placés en fin d’enveloppes soient aussi « comporte » – et pas « contient » ou « s’écrit avec ».

Dans la phrase trouvée par Jean-Luc, A vaut 30 et B vaut 43, comme expliqué ci-après :

A est le nombre de lettres de la phrase-noyau « Cette phrase compte trente lettres » (soit 30) ;

B est le nombre de lettres de « Cette phrase, complétée de la phrase... compte ... lettres » (soit 43).

Jean-Luc a testé en force brute toutes les combinaisons possibles pour A et B ! Il a remarqué que le couple (A;B) = (30;43) est celui qui produit la suite P la plus longue. Voici la phrase record qui en résulte :

Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase, complétée de la phrase « Cette phrase compte trente lettres », compte quatre-vingt-huit lettres », compte cent quarante-sept lettres », compte deux cent quatre lettres », compte deux cent soixante-six lettres », compte trois cent vingt-sept lettres », compte trois cent quatre-vingt-dix-sept lettres », compte quatre cent soixante-deux lettres », compte cinq cent vingt-trois lettres », compte cinq cent quatre-vingt-neuf lettres », compte six cent cinquante-trois lettres », compte sept cent huit lettres », compte sept cent soixante-treize lettres », compte huit cent trente lettres », compte huit cent quatre-vingt-dix-neuf lettres », compte neuf cent soixante-quatre lettres », compte mille dix-neuf lettres », compte mille quatre-vingt-trois lettres », compte mille cent quarante-sept lettres », compte mille deux cent sept lettres », compte mille deux cent soixante-dix-huit lettres », compte mille trois cent quarante-sept lettres », compte mille quatre cent neuf lettres », compte mille quatre cent quatre-vingt-trois lettres », compte mille cinq cent cinquante-deux lettres », compte mille six cent douze lettres », compte mille six cent quatre-vingt-une lettres », compte mille sept cent cinquante et une lettres », compte mille huit cent onze lettres », compte mille huit cent quatre-vingt-une lettres », compte mille neuf cent cinquante et une lettres », compte deux mille sept lettres », compte deux mille soixante-douze lettres », compte deux mille cent trente-huit lettres », compte deux mille deux cent une lettres », compte deux mille deux cent soixante-quinze lettres », compte deux mille trois cent quarante-huit lettres », compte deux mille quatre cent dix-sept lettres », compte deux mille quatre cent quatre-vingt-dix-sept lettres », compte deux mille cinq cent soixante-neuf lettres », compte deux mille six cent trente-huit lettres », compte deux mille sept cent une lettres », compte deux mille sept cent soixante-quinze lettres », compte deux mille huit cent quarante-six lettres », compte deux mille neuf cent quatorze lettres », compte deux mille neuf cent quatre-vingt-neuf lettres », compte trois mille cinquante-cinq lettres », compte trois mille cent dix-neuf lettres », compte trois mille cent quatre-vingt-douze lettres », compte trois mille deux cent soixante-cinq lettres », compte trois mille trois cent trente-six lettres », compte trois mille quatre cents lettres », compte trois mille quatre cent soixante-seize lettres », compte trois mille cinq cent quarante-neuf lettres », compte trois mille six cent quinze lettres », compte trois mille six cent quatre-vingt-quatorze lettres », compte trois mille sept cent soixante-six lettres », compte trois mille huit cent trente-sept lettres », compte trois mille neuf cent deux lettres », compte trois mille neuf cent soixante-seize lettres », compte quatre mille quarante-deux lettres », compte quatre mille cent lettres », compte quatre mille cent soixante-quatorze lettres », compte quatre mille deux cent quarante-huit lettres », compte quatre mille trois cent seize lettres », compte quatre mille trois cent quatre-vingt-dix-sept lettres », compte quatre mille quatre cent soixante-quinze lettres », compte quatre mille cinq cent quarante-neuf lettres », compte quatre mille six cent dix-sept lettres », compte quatre mille six cent quatre-vingt-quinze lettres », compte quatre mille sept cent soixante et onze lettres », compte quatre mille huit cent quarante-cinq lettres », compte quatre mille neuf cent treize lettres », compte quatre mille neuf cent quatre-vingt-quatorze lettres », compte cinq mille cinquante-neuf lettres », compte cinq mille cent vingt lettres », compte cinq mille cent quatre-vingt-dix lettres », compte cinq mille deux cent soixante-quatre lettres », compte cinq mille trois cent trente-cinq lettres.

Cette suite P de nombres en gras est propre à la langue française – ou plutôt à l’écriture des nombres en français. Il serait intéressant de calculer les suites P pour l’anglais, l’italien, l’allemand, l’espagnol, le portugais, etc. – et de les comparer. Cela dira dans doute quelque chose de la langue en question – mais quoi ?

Merci à Jean-Luc pour cette formidable suite ! L’adresse de son site est là.

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12 juin 2012 :

[Ken] :

Using the seed "This sentence has - letters", and embedding with "This sentence, together with "-", has - letters", the process fails after 82 embeddings, with a longest sentence of 5335 letters.

This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence, together with "This sentence has thirty-one letters" has seventy-seven letters" has one hundred and thirty letters" has one hundred and eighty-eight letters" has two hundred and forty letters" has two hundred and ninety-six letters" has three hundred and fifty-four letters" has four hundred and seven letters" has four hundred and sixty letters" has five hundred and seventeen letters" has five hundred and seventy-seven letters" has six hundred and thirty letters" has six hundred and eighty-six letters" has seven hundred and forty letters" has seven hundred and ninety- nine letters" has eight hundred and fifty-eight letters" has nine hundred and twelve letters" has nine hundred and sixty-nine letters" has one thousand and twenty-six letters" has one thousand and eighty letters" has one thousand, one hundred and forty-eight letters" has one thousand, two hundred and fourteen letters" has one thousand, two hundred and eighty-three letters" has one thousand, three hundred and fifty-three letters" has one thousand, four hundred and twenty-three letters" has one thousand, four hundred and ninety-one letters" has one thousand, five hundred and fifty-nine letters" has one thousand, six hundred and twenty-six letters" has one thousand, six hundred and ninety letters" has one thousand, seven hundred and fifty-nine letters" has one thousand, eight hundred and twenty-nine letters" has one thousand, eight hundred and ninety-nine letters" has one thousand, nine hundred and sixty-eight letters" has two thousand and twenty-seven letters" has two thousand and eighty-five letters" has two thousand, one hundred and fifty-one letters" has two thousand, two hundred and sixteen letters" has two thousand, two hundred and eighty letters" has two thousand, three hundred and forty-nine letters" has two thousand, four hundred and fifteen letters" has two thousand, four hundred and eighty-four letters" has two thousand, five hundred and fifty-one letters" has two thousand, six hundred and sixteen letters" has two thousand, six hundred and eighty letters" has two thousand, seven hundred and forty-nine letters" has two thousand, eight hundred and sixteen letters" has two thousand, eight hundred and eighty-seven letters" has two thousand, nine hundred and fifty-five letters" has three thousand and eleven letters" has three thousand and seventy-three letters" has three thousand, one hundred and forty-three letters" has three thousand, two hundred and six letters" has three thousand, two hundred and seventy-eight letters" has three thousand, three hundred and forty-nine letters" has three thousand, four hundred and eighteen letters" has three thousand, four hundred and eighty-nine letters" has three thousand, five hundred and fifty-nine letters" has three thousand, six hundred and twenty-nine letters" has three thousand, six hundred and ninety-nine letters" has three thousand, seven hundred and seventy-three letters" has three thousand, eight hundred and forty-four letters" has three thousand, nine hundred and thirteen letters" has three thousand, nine hundred and eighty-four letters" has four thousand and forty-three letters" has four thousand, one hundred and seven letters" has four thousand, one hundred and seventy-six letters" has four thousand, two hundred and forty letters" has four thousand, three hundred and five letters" has four thousand, three hundred and seventy-eight letters" has four thousand, four hundred and forty-six letters" has four thousand, five hundred and twelve letters" has four thousand, five hundred and eighty-one letters" has four thousand, six hundred and forty-nine letters" has four thousand, seven hundred and eighteen letters" has four thousand, seven hundred and eighty-nine letters" has four thousand, eight hundred and fifty-nine letters" has four thousand, nine hundred and twenty-nine letters" has four thousand, nine hundred and ninety-nine letters" has five thousand and fifty-eight letters" has five thousand, one hundred and twenty-eight letters" has five thousand, one hundred and ninety-six letters" has five thousand, two hundred and sixty-four letters" has five thousand, three hundred and thirty-five letters.

Waow, many thanks, Ken, congratulations! 82 embeddings in English and 79 in French for the _same amount_ of letters in the end (5335)!

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D’autres suites ? Ici.