Autodescription de sous-chaînes

 

 

Pour interpréter le dernier entier de la séquence A046043 (soit le nombre 6210001000), il faut dessiner un tableau :

 

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Occurrences  | 6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |

 

On comprend mieux : le nombre 6210001000 autodécrit le nombre de « 0 » qu’il comporte (il y en a 6), le nombre de « 1 » (il y en a 2), le nombre de « 2 » (il y en a 1), le nombre de « 3 » (il y en a zéro), etc.

 

 

Les autres entiers de la séquence se lisent de la même façon :

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 |

Occurrences  | 1 | 2 | 1 | 0 | --> 1210

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 |

Occurrences  | 2 | 0 | 2 | 0 | --> 2020

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

Occurrences  | 2 | 1 | 2 | 0 | 0 | --> 21200

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Occurrences  | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 3211000

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Occurrences  | 4 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 42101000

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Occurrences  | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 521001000

 

 

Pour rappel, le dernier nombre de la séquence A046043 :

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Occurrences  | 6 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 6210001000

 

 

Peut-on aller plus loin ? Oui, il suffit d’ajouter 10 à la première ligne du tableau et de demander au nombre hypothétique de la deuxième ligne d’autodécrire la quantité de sous-chaînes « 10 » qu’il comporte. Voici deux solutions :

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |

Occurrences  | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | --> 53110100002

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |

Occurrences  | 6 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | --> 62200010001

 

 

Y en a-t-il d’autres pour une ligne supérieure allant de « 0 » à « 10 » ?

 

 

Pour une ligne allant au delà de « 10 », nous avons ceci :

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |

Occurrences  | 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | --> 541011000021

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |

Occurrences  | 6 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | --> 6401101000310

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |

Occurrences  | 7 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 | 0 | --> 74011001003100

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |14 |

Occurrences  | 8 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 840110001031000

 

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |

Occurrences  | 9 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | --> 9321000001201000

 

 

Des oublis ? Des choses intéressantes plus loin encore ?

 

 

Oui ! Jacques Alardet a trouvé à la mi-août 2008 un nombre décrivant toutes ses sous-chaînes, de 0 à 16 :

 

Sous-chaîne  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |

Occurrences  | 9 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | --> 94201000012110000

 

Bravo et merci, Jacques !

 

 

La séquence A046043 pourrait donc être étendue ainsi :

 

1210, 2020, 21200, 3211000, 42101000, 521001000, 6210001000, 53110100002, 62200010001, 541011000021, 6401101000310, 74011001003100, 840110001031000, 9321000001201000, 94201000012110000, ...

 

Cette suite est cependant composée de nombres (et non de tableaux) et se condamne de ce fait à la finitude : comment représenter en effet un nombre qui comporte dix « 0 » ou plus ? Voici un exemple montrant la confusion qui en résulte :

 

Sous-chaîne | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 |16 |17 |

Occurrences |11 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | -->  N

 

Ce tableau dit la vérité : il y a bien 11 zéros dans le nombre N, six 1, aucun 2, aucun 3, un 4, etc.

 

Mais comment le savoir en lisant le nombre N ? Car N vaut 1160010100041000010 — or la convention de lecture adoptée plus haut veut qu’on interprète le premier chiffre de N comme la quantité de zéros que N contient et cela ne marche plus : il n’y a pas « 1 » zéro dans N mais bien « 11 ». Le lecteur est dans l’incapacité de savoir s’il faut lier ou non les deux premiers « 1 » de N pour avoir la quantité exacte de zéros contenue par N...

 

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La même idée avec des lettres.

 

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Une bonne bière pour la route.