This is a bit "Thue-Morse" like

Rang dans les Pairs/Impairs

et parfum de Thue-Morse

Après avoir eu l’idée de « remplacer un entier par le rang qu’il occupe dans une suite connue » (voir ici une tentative collatzo-syracusienne), j’ai voulu poursuivre avec les nombres pairs et les impairs. Tout commence (en français) avec ce courrier à un ami, puis (en anglais) avec le même à la Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/

VERSION FRANÇAISE :

Hello S.,

(...)

Si tu as le temps -- et si ça t’intéresse, j’ai un tableau bizarre à remplir, regarde :

S = 1, 1, 6, 58, 5829, 58292915, ...

Je commence par 1

S = 1

Question (a) : "1" est-il pair ou impair ?

Réponse, il est impair

Question (b) : quel est le rang de "1" dans la suite des Impairs ?

Réponse : "1" est le premier nombre impair, son rang = 1

Action : écrire ce rang derrière le nombre précédent :

S = 1, 1

Question (a) : "11", (concaténation de tous les chiffres écrits de S) est-il pair ou impair ?

Réponse, il est impair

Question (b) : quel est le rang de "11" dans la suite des Impairs ?

Réponse : "11" est le 6^e nombre impair, son rang = 6

Action : écrire ce rang derrière le nombre précédent :

S = 1, 1, 6,

Question (a) : "116", (concaténation de tous les chiffres écrits de S) est-il pair ou impair ?

Réponse, il est pair

Question (b) : quel est le rang de "116" dans la suite des Pairs ?

Réponse : "116" est le 58^e nombre pair, son rang = 58

Action : écrire ce rang derrière le nombre précédent :

S = 1, 1, 6, 58,

Question (a) : "11658", (concaténation de tous les chiffres écrits de S) est-il pair ou impair ?

Réponse, il est pair

Question (b) : quel est le rang de "11658" dans la suite des Pairs ?

Réponse : "11658" est le 5829^e nombre pair, son rang = 5829

Action : écrire ce rang derrière le nombre précédent :

S = 1, 1, 6, 58, 5829, ...

... etc. Tu as compris.

Le tableau en question ne fait que 10 lignes :

S(1) = 1, 1, 6, 58, 5829, 58292915, ...

S(2) = 2, 1, 11, 1056, 10555528, ...

S(3) = 3, 2, 16, 1608, 16080804, ...

S(4) = 4, 2, 21, 2111, 21106056, ...

S(5) = 5, 3, 27, 2664, 26636332, ...

S(6) = 6, 3, 32, 3166, 31661583, ...

S(7) = 7, 4, 37, 3719, 37186860, ...

S(8) = 8, 4, 42, 4221, 42212111, ...

S(9) = 9, 5, 48, 4774, 47742387, ...

S(10) = 10, 5, 53, 5277, 52767639, ...

Pourrais-tu prolonger chaque ligne de qq termes ?

Merci !

à+

É.

ENGLISH VERSION:

S = 1, 1, 6, 58, 5829, 58292915, ...

Start S with 1

S = 1

Question(a): is "1" odd or even?

Answer: "1" is odd

Question(b): what is the rank of "1" in the Odd numbers seq.?

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005408

Answer: "1" is the first odd integer, its rank is = 1

Action: write this rank as a new term of S:

S = 1, 1,

Question(a): is "11" (concatenation of all written digits so far) odd or even?

Answer: "11" is odd

Question(b): what is the rank of "11" in the Odd numbers seq.?

Answer: "11" is the 6^th integer, its rank is = 6

Action: write this rank as a new term of S:

S = 1, 1, 6,

Question(a : is "116" (concatenation of all written digits so far) odd or even?

Answer: "116" is even

Question(b): what is the rank of "116" in the Even numbers seq.?

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005843

Answer: "116" is the 58^th integer, its rank is = 58

Action: write this rank as a new term of S:

S = 1, 1, 6, 58,

Question(a): is "11658" (concatenation of all written digits so far) odd or even?

Answer: "11658" is even

Question(b): what is the rank of "11658" in the Even numbers seq.?

Answer: "11658" is the 5829^th integer, its rank is = 5829

Action: write this rank as a new term of S:

S = 1, 1, 6, 58, 5829, ...

... etc.

I have computed this array yesterday (by hand):

S(1) = 1, 1, 6, 58, 5829, 58292915, ...

S(2) = 2, 1, 11, 1056, 10555528, ...

S(3) = 3, 2, 16, 1608, 16080804, ...

S(4) = 4, 2, 21, 2111, 21106056, ...

S(5) = 5, 3, 27, 2664, 26636332, ...

S(6) = 6, 3, 32, 3166, 31661583, ...

S(7) = 7, 4, 37, 3719, 37186860, ...

S(8) = 8, 4, 42, 4221, 42212111, ...

S(9) = 9, 5, 48, 4774, 47742387, ...

S(10) = 10, 5, 53, 5277, 52767639, ...

Could someone extend this (to the right) -- or at least S(1)?

Best,

É.

---

Les réponses de Maximilian Hasler, du Prof. Dr. Alois Heinz et de Farideh Firoozbakht, ont fusé et permis d’avancer dans le tableau. Maximilian Hasler a raison : plus on avance dans chaque suite, plus les a(n) semblent commencer par la même succession de chiffres ; les trente premières décimales du 8^e terme déjà des suites S(1) à S(10) ne semblent plus devoir bouger – elles dessinent pour chaque suite une sorte de point fixe à la Thue-Morse.

[MH] :

This is a bit "Thue-Morse" like... It seems as if it would "converge" against something periodic, but the limit is not periodic. (Maybe even "square free" for some values.)

---

S1 = 1, 1, 6, 58,

5829,

58292915,

5829291479146458,

58292914791464577914645739573229,

5829291479146457791464573957322929146457395732288957322869786615,

58292914791464577914645739573229291464573957322889573228697866147914645739573228895732286978661464573228697866144478661434893308,

5829291479146457791464573957322929146457395732288957322869786614791464573957322889573228697866146457322869786614447866143489330779146457395732288957322869786614645732286978661444786614348933073957322869786614447866143489330732286614348933072239330717446654,

...

S2 = 2, 1, 11, 1056,

10555528,

1055552805277764,

10555528052777640527776402638882,

1055552805277764052777640263888205277764026388820263888201319441,...

S3 = 3, 2, 16, 1608,

16080804,

1608080408040402,

16080804080404020804040204020201,

1608080408040402080404020402020108040402040202010402020102010101,...

S4 = 4, 2, 21, 2111,

21106056,

2110605560553028,

21106055605530281055302780276514,

2110605560553028105530278027651410553027802765140527651390138257,...

S5 = 5, 3, 27, 2664,

26636332,

2663633213318166,

26636332133181661331816606659083,

2663633213318166133181660665908313318166066590830665908303329542,...

S6 = 6, 3, 32, 3166,

31661583,

3166158315830792,

31661583158307916583079157915396,

3166158315830791658307915791539615830791579153958291539578957698,...

S7 = 7, 4, 37, 3719,

37186860,

3718685968593430,

37186859685934301859342984296715,

3718685968593430185934298429671518593429842967150929671492148358,...

S8 = 8, 4, 42, 4221,

42212111,

4221211071106056,

42212110711060557110605535553028,

4221211071106055711060553555302821106055355530278555302767776514,...

S9 = 9, 5, 48, 4774,

47742387,

4774238723871194,

47742387238711937387119361935597,

4774238723871193738711936193559723871193619355968693559680967799,...

S10 = 10, 5, 53, 5277,

52767639,

5276763876383820,

52767638763838197638381938191910,

5276763876383819763838193819191026383819381919098819190969095955,...

PARI:

S( a, Nmax=6, t="") = concat( a, vector( Nmax,i, t=round(1/2*a=eval(Str(a,t)))))

for(n=1,10,print(S(n)))

Maple:

rank:= n-> `if` (type(n, ‘even’), n/2, (n+1)/2);

a := proc (n,k) option remember;

if n=1 then k

else rank (parse (cat(seq(a(j,k), j=1..n-1))))

end;

for k from 1 to 10 do lprint (seq(a(n,k), n=1..7)) od ;

Mathematica code for writing Si(k) is:

Si[1]=i;Si[n_]:=Si[n]=(v={};Do[v= Join[v,IntegerDigits[Si[k]]],{k,n-1}];

Floor[(1+FromDigits[v])/2])

Merci à tous !

(thanks to all)

É.

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