Traits verticaux
et compte de lettres
Nous nous proposons de construire une suite S de nombres écrits en lettres majuscules qui satisfasse aux
critères suivants :
– on place un trait vertical derrière tous les
« E » de S ;
- on compte le nombre de lettres séparées par deux
traits ;
- on vérifie que la succession des comptes reproduit
S.
__________
1) Par quoi commencer S ?
- par le plus petit nombre possible qui ne conduise
pas à une impasse. Ce nombre est « DEUX » – voyons pourquoi :
S = DEUX, ...
S = DE|UX, ...
... Il y a bien 2 lettres avant le trait vertical.
(Et l’on comprend que S ne puisse pas
commencer par « UN »).
2) Par quoi prolonger S ?
- par le plus petit nombre possible qui ne conduise
pas à une impasse. Ce nombre est « HUIT » – voyons pourquoi :
S = DE|UX, HUIT...
.... « HUIT » doit être interprété comme
la quantité de lettres qu’il faut pour atteindre le trait vertical
suivant ; cela conduit à la présentation ci-dessous de S, où l’étoile marque l’emplacement d’une lettre encore
indéterminée :
S = DE|UX, HUIT, * E| ...
12|12 3456 7
8| ...
... pourquoi « HUIT » et pas un nombre
plus petit ? Parce qu’aucun ne convient, comme les impasses suivantes le
prouvent :
S = DE|U|X, UN ...
12|1| ... (il n’y a
pas de « E » en 1re position)
S = DE|UX|, DEUX ...
12|12| ... (il n’y a
pas de « E » en 2e position)
S = DE|UX, T|ROIS ...
12|12 3| ... (il n’y a pas de « E » en 3e
position)
S = DE|UX, QU|ATRE ...
12|12 34| ... (il n’y a pas de « E » en 4e
position)
S = DE|UX, CIN|Q ...
12|12 345| ... (il n’y a pas de « E » en 5e
position)
S = DE|UX, SIX, E| ...
12|12 345 6| ... (aucun nombre ne commence
par « E »)
S = DE|UX, SEPT, E| ...
12|12 3456 7| ... (il y a un « E » parasite en
4e position)
HUIT permettra de prolonger S grâce
à l’étoile et grâce à un enjambement du trait vertical :
S = DE|UX, HUIT, * E| ...
12|12 3456 7
8| ...
... par exemple avec SEPT :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT * * * * E| ...
12|12 3456 78|12 3 4 5 6 7| ...
... ou, si « SEPT devait produire un blocage
futur, pourrait-on garder HUIT et enchaîner avec NEUF :
S = DE|UX, HUIT, NE|UF * * * * * * E| ...
12|12 3456 78|12 3 4 5 6 7 8 9| ...
... mais pas avec DEUX :
S = DE|UX, HUIT, DE|UX| ...
12|12 3456 78|12| ... (car le X prend la place du E imposé par le mot DEUX
lui-même)
Si HUIT ne convient pas, comme deuxième nombre, on
pourra toujours essayer DIX :
S = DE|UX, DIX, * * *
* E| ...
12|12 345 6
7 8 9 10| ...
... le début DEUX, DIX permettant par exemple DOUZE,
ci-dessus. Mais continuons avec DEUX, HUIT, SEPT :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT * * * * E| ...
12|12 3456 78|12 3 4 5 6 7| ...
Plusieurs nombres pourraient convenir – essayons le
plus petit d’entre eux, UN :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, U
N * * E|E| ...
12|12 3456 78|12 3 4 5 6 7|1| ...
La présence du doublet EE
ci-dessus pose un problème ; en effet, ce doublet ne se rencontre que dans
31 (TRENTEETUN), 41 (QUARANTEETUN), 51 (CINQUANTEETUN), 61
(SOIXANTEETUN) et les nombres qui contiennent ces sous-chaînes de
caractères. Aucun d’entre eux ne convient ici, vu l’exiguïté de l’espace que
ménagent les deux étoiles avant le doublet. SIX, en revanche, semble être un
bon candidat :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, S
I X, * E| * * * * * E| ...
12|12 3456 78|12 3 4 5
6 7| 1 2 3 4 5 6| ...
On notera qu’à ce stade-ci déjà, les nombres en
toutes lettres ci-dessus sont les mêmes que ceux soulignés en gras dans la
ligne suivante – preuve que la tâche que nous nous sommes fixée semble
possible.
Le plus petit candidat suivant semble être DEUX :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, D E|U
X * * * E| * E| ...
12|12 3456 78|12 345 6 7|1 2 3 4 5 6| 1 2|
...
Rien de plus petit que ONZE ne convient à présent –
suivi à nouveau de DEUX :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, O N Z E| D
E| U X * * * * * * * * E| * E| ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3 4 5 6|
1 2| 11 | 2
| ...
UN aurait-il sa place à présent ?
Essayons :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, U
N * * * * * * E | *
E| ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12| 11 | 2 | ...
Ce UN fixe la taille du bloc
de lettres suivant :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, U
N * * * * * * E | *
E|E| * * * ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12| 11 | 2 |1| ...
On voit immédiatement que le doublet EE ne pourra faire partie d’aucune succession de nombres.
UN devra patienter, DEUX ne peut le remplacer (à
cause de son E interne), mais TROIS fait l’affaire :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, T
R O I S, * * * E| * E| * * E| ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12| 11 | 2 | 3 | ...
Et le plus petit candidat suivant sera ONZE :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, TROIS, O N Z E | * E|* * E| * * * * * * ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12|12 34567
8 9 0 11| 2
| 3
| 11
...
Le plus petit nombre permettant de prolonger S est SEIZE :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, TROIS, ONZE | S E| I
Z E| * * * * * * ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12|12 34567
89011| 2
| 3
| 11 ...
16
Ce n’est que maintenant que UN peut être appelé :
S = DE|UX, HUIT, SE|PT, SIX, DE|UX, ONZE|DE|UX, TROIS, ONZE |SE|IZE| U N * * * * * * * * E| ...
12|12 3456 78|12 345 67|12 3456|12|12 34567
89011|12|123| 11
|
16
Le nombre UN, comme nous l’avons vu, produit mécaniquement
un doublet EE plus loin dans la suite. Mais là nous
aurons la possibilité d’insérer le doublet à 41 (QUARANTEETUN). S présentera localement cet aspect :
[...] ONZE |SE|IZE| UN * * * * * * * * E| * * * * * * * * * * *
* * * * E |E| * * * * * ...
[...] 89011|12|123| 11
|
16 |1| ...
Les quinze étoiles qui précèdent le doublet EE sont bien suffisantes pour accueillir QUARANTEETUN sans
hypothéquer le remplissage qui précède :
[...] ONZE |SE|IZE| UN * * * * * * * * E| * *
* * * * * * Q U A R A N T E |E| T U N * * ... E| ...
[...] 89011|12|123| 11 | 16 |1| ...
E| ...
... et ainsi de suite.
__________
L’état de S est le suivant (au
22 octobre 2013 – merci à Nicolas Graner pour sa
vigilance) :
S = DEUX, HUIT, SEPT, SIX, DEUX,
ONZE, DEUX, TROIS, ONZE, SEIZE, UN, CINQ, SIX, DEUX, SIX, SIX, QUARANTE ET UN, DEUX,
ONZE, DEUX, ONZE, UN, ONZE, UN, CINQ, TROIS, TROIS, TROIS, UN, CINQ, TROIS, CINQ,
DOUZE, DEUX, TROIS, ONZE, DEUX, CINQUANTE ET UN, QUARANTE ET UN, SEIZE, TRENTE
ET UN, SEIZE, ...
Les barres placées derrière chaque E sont
horizontales ici ; les couleurs portées permettent de distingues les
nombres en majuscules ; les nombres en minuscules comptent les majuscules placées
entre deux séparations ; la succession des nombres en majuscules est la
même que celle des nombres en minuscules – objet de l’exercice :
S = DE — UX HUIT SE — PT SIX DE — UX ONZE — DE — UX TROIS ONZE — SE — IZE —
Deux huit
sept six
deux onze
deux trois
UN CINQ SIX DE — UX SIX SIX QUARANTE — E — T UN DE — UX ONZE — DE — UX ONZE — UN ONZE —
onze seize un
cinq six deux
six six
UN CINQ TROIS TROIS TROIS
UN CINQ TROIS CINQ DOUZE —
DE — UX TROIS ONZE —
quarante et un deux onze
DE — UX CINQUANTE — E — T UN QUARANTE — E — T UN SE — IZE — TRE — NTE — E — T UN SE — IZE — ...
deux onze un
onze un
cinq trois trois
trois un cinq trois
...
__________
Une âme charitable pourrait-elle vérifier que le
début de la suite S ci-dessus ne
comporte pas d’erreur ? Et qu’il est bien le lexico-premier possible ?
... On aurait alors pour S (en
chiffres) :
S = 2, 8, 7, 6, 2, 11, 2, 3, 11, 16, 6, 6, 41, 2, 11,
2, 11, 1, 11, 1, 5, 3, 3, 3, 1, 5, 3, 5, 12, 2, 3, 11, 2, 51, 41, 16, 31, 16,
...
Questions :
a) Se peut-il que S entre
à un moment dans une boucle ?
b) Ou dans un motif régulier en expansion ?
c) Pourrait-on fabriquer de toutes pièces une suite T qui entrerait rapidement dans une telle boucle ou un tel
motif ?
à+
É.
__________
[Cette page-ci
développe la même idée, mais avec la contrainte supplémentaire que tous les
nombres de S doivent être différents ; la version
anglaise de la page que vous lisez est là]